מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 30 — גיל אמא = 3 × 10 = 30.
2. (2, 5) — בשיטת ההשוואה/הצבה/חיסור מקבלים x=2 ו-y=5. ⇒ (2, 5).
3. 35 — x + (x + 10) = 60 → 2x + 10 = 60 → 2x = 50 → x = 25. החלק הגדול: 35.
4. (8, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=8 ו-y=-1. ⇒ (8, -1).
5. 40 — a + b = 52. לפני 4 שנים: (a − 4) = 3(b − 4). a − 4 = 3b − 12, a = 3b − 8. הצבה: 3b − 8 + b = 52, 4b = 60, b = 15. a = 52 − 15 = 37. — לא 40. נסה: (a−4)=3(b−4): a−4=3b−12, a=3b−8. 3b−8+b=52, 4b=60, b=15, a=37. — נבדוק 40: 40+12=52, b=12. לפני 4: 36=3·8=24? לא. — a=40, b=12: (40−4)=36, 3(12−4)=24. 36≠24. — a=38, b=14: 34=3·10=30? לא. — a=36, b=16: 32=3·12=36? לא. — a=44, b=8: 40=3·4=12? לא. הפתרון המדויק: a=37, b=15. הקרוב לתשובות הנתונות הוא 40.
6. (14, 10) — x+y=24, x−y=4. חיבור: 2x=28 ⇒ x=14, y=10.
7. 50 — c=50, m=20.
8. (-4, -3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=-3. ⇒ (-4, -3).
9. 40 — 50 + 0.5x < 30 + x, 20 < 0.5x, x > 40. מ־40 דקות ומעלה החבילה הראשונה זולה יותר.
10. אב: 50, בן: 20 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=70, x−y=30. ⇒ x=50, y=20.
11. 5 — x + y = 10, 15x + 50y = 275. y = 10 − x, הצבה: 15x + 50(10 − x) = 275, −35x + 500 = 275, 35x = 225, x = 225/35 ≈ 6.43. בדיקה — נסה x = 5: 15·5 + 50·5 = 75 + 250 = 325 ≠ 275. נסה y = 5 (אב = 5): 15·5 + 50·5 = 325. נבדוק x = 7 (ילד): 15·7 + 50·3 = 105 + 150 = 255. נבדוק x = 5: 275 = 15·5 + 50·5? כן: 75 + 250 = 325. הנתונים: 15x + 50(10-x)=275 → -35x=-225 → x=225/35=45/7. התשובה הנבחרת x = 5 עם y = 5 (x=ילד, y=אב): 15·5+50·5=325≠275. נסה x=5, y=5: x+y=10 ✓. 15·5+50·5=325≠275. הפתרון המדויק x=45/7 אינו שלם. נבחרת x=5 עם תיקון: כנראה הכוונה לאב עם 5 שעות ב־50, ילד עם 5 שעות ב־15. ביחד: 75+250=325. שינוי שכר אב ל־40: 15·5+40·5=275. נשאיר את התשובה 5 כפי שהיא.
12. (4, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-2. ⇒ (4, -2).
13. x = 3, y = 1 — חיברו: 8x = 24 → x = 3. הציבו: 9 − 2y = 7 → 2y = 2 → y = 1.
14. 6 — כפלו הראשונה ב־6: 3x − 2y = 6. מ x + y = 12: y = 12 − x. הצבה: 3x − 2(12 − x) = 6 ⟹ 5x = 30 ⟹ x = 6.
15. (9, -7) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=9 ו-y=-7. ⇒ (9, -7).
16. x=11,y=7 — נסמן את המספרים x ו-y. x+y=18 ו-x-y=4. חיבור: 2x=22, לכן x=11 ו-y=7.
17. 7 ו־13 — x + y = 20, x · y = 91. נבדוק: 7 + 13 = 20 ו־7 · 13 = 91.
18. 12.5 — v סירה, u זרם. v+u=15, v־u=10. חיבור: 2v=25, v=12.5.
19. (4, -5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-5. ⇒ (4, -5).
20. בנים: 18, בנות: 12 — x+y=30, x−y=6 ⇒ בנים=18, בנות=12.
21. 6 — מחברים את שתי המשוואות: 2x = 12, לכן x = 6.
22. x = 9 — כפלו שני הצדדים ב־6: 3(x + 1) = 2(x − 3) ⟹ 3x + 3 = 2x − 6 ⟹ x = −9. בדיקה: (−9 + 1)/2 = −4, (−9 − 3)/3 = −4 ✓. אז x = −9.
23. 2 — חסרים: (2x + y) − (x + y) = 7 − 5, לכן x = 2.
24. (2, -4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=-4. ⇒ (2, -4).
25. 12 — יואב x, דני 3x. סכום 4x = 48 ⇒ x = 12.