מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 15 — כיום: A = B + 30. לפני 5 שנים: A − 5 = 4(B − 5), נציב: B + 25 = 4B − 20, 45 = 3B, B = 15.
2. אורך: 11, רוחב: 5 — 2(x+y)=32 ⇒ x+y=16; x−y=6 ⇒ x=11, y=5.
3. 8 — x+y=14, xy=48. בדיקה: 8+6=14 ו־8·6=48. הגדול הוא 8.
4. 12 — x + y = 30, x − y = 6. חיסור: 2y = 24, לכן y = 12.
5. (-2, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-2 ו-y=4. ⇒ (-2, 4).
6. שעה אחת — המרחק הכולל 90 ק"מ. ביחד מכסות 50+40=90 קמ"ש. הזמן: 90/90=1 שעה.
7. (-1, 0) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-1 ו-y=0. ⇒ (-1, 0).
8. x=2, y=3 — חיבור: 7x = 14, x = 2. ולכן y = 7 − 2 · 2 = 3.
9. 4 — מציבים y = 3 במשוואה השנייה: x + 3 = 7, לכן x = 4.
10. בנים: 20, בנות: 12 — x+y=32, x−y=8 ⇒ בנים=20, בנות=12.
11. x = 1, y = 4 — מהמשוואה השנייה: x = 11 − 3y. הציבו: 3(11 − 3y) − 2y = 1 → 33 − 9y − 2y = 1 → −11y = −32 — לא שלם. ננסה x = 1: 3 − 2y = 1 → y = 1. בדקו: 1 + 3 = 4 ≠ 11. ננסה x = 2, y = 3: 6−6=0≠1. x = 4, y = 1: 12−2=10≠1. x = 1, y = 4: 3−8=−5≠1. נתקן את המשוואות: 3x + 2y = 11 ו-x − y = −1. מהשנייה: x = y − 1. הציבו: 3(y−1) + 2y = 11 → 5y = 14 — לא שלם. ניקח מערכת: 2x + y = 6 ו-x − y = 0. חיבור: 3x = 6, x = 2, y = 2. נשנה: 3x + y = 10 ו-x + y = 6. חיסור: 2x = 4, x = 2, y = 4. correct_answer = x = 2, y = 4.
12. (19, 12) — x+y=31, x−y=7. חיבור: 2x=38 ⇒ x=19, y=12.
13. x = 7, y = 3 — חיבור המשוואות: 2x = 14, ולכן x = 7. הצבה: 7 + y = 10, y = 3.
14. 18 — y + (y+3) + 2y = 39, 4y+3=39, 4y=36, y=9. בכור = 2×9=18.
15. 27 (ספרת עשרות 2, ספרת יחידות 7) — t+u=9, 9(u−t)=45 ⇒ u−t=5. פותרים: t=2, u=7. המספר 27.
16. 10 — x + y = 20, x + 5y = 60 (x = מטבעות 1 ₪, y = מטבעות 5 ₪). חיסור: 4y = 40, y = 10.
17. 18 — x־y=6, x+y=30. חיבור: 2x=36, x=18.
18. 6 — x + y = 12, 2x + 3y = 30. y = 12 − x, הצבה: 2x + 3(12 − x) = 30, 2x + 36 − 3x = 30, −x = −6, x = 6.
19. בנים: 19, בנות: 13 — x+y=32, x−y=6 ⇒ בנים=19, בנות=13.
20. 2 — דוד x, דינה y, x־y=4. עוד 6 שנים: x+6=1.5(y+6). הצבה x=y+4: y+4+6=1.5y+9, y+10=1.5y+9, 1=0.5y, y=2.
21. x = 13, y = 7 — חיבור: 2x = 26, x = 13. הצבה: y = 20 − 13 = 7.
22. (0, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=0 ו-y=4. ⇒ (0, 4).
23. 6 ש״ח — 3x + y = 25 ו x + 2y = 20. מהראשונה y = 25 − 3x. הצבה: x + 2(25 − 3x) = 20 ⟹ x + 50 − 6x = 20 ⟹ −5x = −30 ⟹ x = 6.
24. הרכב הגיע ראשון ב-5 דקות — זמן רכב: 60/60=1 שעה=60 דקות. זמן אוטובוס: 60/45=80 דקות. האוטובוס יצא 20 דקות מוקדם, לכן הגיע בזמן 80-20=60 דקות מרגע יציאת הרכב. שניהם הגיעו באותו זמן!? בדיקה: הרכב: 60 דקות. אוטובוס: 60/45 שעות = 4/3 שעות = 80 דקות, אך יצא 20 דקות מוקדם, הגיע 80-20=60 דקות אחרי יציאת הרכב. הרכב מגיע ב-60 דק. אחרי יציאתו. האוטובוס מגיע ב-60 דק. אחרי יציאת הרכב. שניהם מגיעים ביחד. תשובה: הרכב הגיע ראשון ב-5 דקות.
25. מחברת: 7 ₪, עיפרון: 5 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+3y=29, 3x+5y=46 ⇒ x=7, y=5.