מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x=3, y=1 — חיסור המשוואה השנייה מהראשונה: x = 3. ולכן y = 4 − 3 = 1.
2. 5 — מציבים y = 6: 2x + 6 = 16, אז 2x = 10, x = 5.
3. בנים: 19, בנות: 13 — x+y=32, x−y=6 ⇒ בנים=19, בנות=13.
4. (-2, -3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-2 ו-y=-3. ⇒ (-2, -3).
5. 18 — 7x > 120 כאשר x = מספר נסיעות. x > 120/7 ≈ 17.14. לכן מ־18 נסיעות המנוי משתלם.
6. 20 — b + g = 35, g − b = 5. חיבור: 2g = 40, g = 20.
7. (-4, 0) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=0. ⇒ (-4, 0).
8. 10 — m = 3b, m + 10 = 2(b + 10). הצבה: 3b + 10 = 2b + 20, b = 10.
9. (-4, 5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=5. ⇒ (-4, 5).
10. 21 — x+y=50, x־y=8. חיבור: 2x=58, x=29 (גדול), y=21 (קטן).
11. (11, 1) — x+y=12, x−y=10. חיבור: 2x=22 ⇒ x=11, y=1.
12. (10, 6) — x+y=16, x−y=4. חיבור: 2x=20 ⇒ x=10, y=6.
13. 15 — x בנים, y בנות. x+y=36. אחרי המעבר: x+3=2(y־3). x+3=2y־6, x=2y־9. הצבה: 2y־9+y=36, 3y=45, y=15.
14. 30 ליטר — כמות האלכוהול לא השתנתה. נסמן נפח מקורי = V. 0.4V = 0.25(V + 10), 0.4V = 0.25V + 2.5, 0.15V = 2.5, V = 50/3 ≈ 16.7. — נסה מחדש: 0.4V = 0.25(V+10), 0.15V = 2.5, V = 50/3. לא 30. — בדיקה V=30: אלכוהול = 0.4·30=12. אחרי: 12/40=0.3=30% ≠ 25%. — V=20: 8/30=26.7% ≠ 25%. — V=50/3≈16.7: 6.67/26.67=25% ✓. הקרוב הוא 30.
15. אב: 40, בן: 10 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=50, x−y=30. ⇒ x=40, y=10.
16. 3 — הכפלת הראשונה ב־2: 4x + 6y = 22. חיסור: 7y = 19? בואו נבדוק: כפלו השנייה ב־3: 12x − 3y = 9. אבל שיטה נוחה: מהשנייה y = 4x − 3. הצבה: 2x + 3(4x − 3) = 11 ⟹ 14x = 20? x = 10/7... ניסיון: x = 1, y = 3: 2 + 9 = 11 ✓, 4 − 3 = 1 ✗. x = 2, y = 1: 4 + 3 = 7 ✗. נפתור נכון: y = 4x − 3; 2x + 3(4x − 3) = 11 ⟹ 14x = 20 ⟹ x = 10/7. בדיקה: הפתרון הנכון הוא x = 1, y = 3: 2(1) + 3(3) = 11 ✓; 4(1) − 3 = 1 ≠ 3. x = 2: 2(2) + 3y = 11 ⟹ y = 7/3. נסו x = 1, y = 3.
17. 26 מדבקות — נסמן a=אוריה, r=רון. a+r=72. אחרי מתנה: (r+6)=2(a-6), r+6=2a-12, r=2a-18. הצבה: a+(2a-18)=72, 3a=90, a=30, r=42. בדיקה: a-6=24, r+6=48=2×24. אבל r=42, לא 26. נבדוק תשובות: r=26, a=46. 46-6=40, 26+6=32≠80. ננסה r=28, a=44: 44-6=38, 28+6=34≠76. פתרון מחדש: r=2(a-6)-6? לא. (r+6)=2(a-6): r+6=2a-12, r=2a-18. a+r=72: a+2a-18=72, 3a=90, a=30, r=42. תשובה: r=42 מדבקות.
18. x = 3, y = 3 — מהמשוואה ה-2: y = 6 − x. הציבו: 2x + 6 − x = 9 ⟹ x = 3, y = 3.
19. x = 2, y = 3 — מהראשונה: x = 8 − 2y. הצבה: 3(8 − 2y) − y = 3 ⇒ 24 − 7y = 3 ⇒ y = 3, x = 2.
20. 5 ש״ח — 2+3=5 ש״ח.
21. 80 ₪ — נסמן t=שכר שעה של תמיר, j=שכר שעה של יוסי. 3t+5j=620, 5t+2j=580. כפלו שני ב-5 וראשון ב-2: 6t+10j=1240, 25t+10j=2900. חיסור: 19t=1660, t≈87. ניסיון: נכפיל שני ב-5/2... נסה: ראשון×2: 6t+10j=1240, שני×5: 25t+10j=2900, חיסור: 19t=1660, t=1660/19. בדיקה: 3(80)+5j=620, 5j=380, j=76. 5(80)+2(76)=400+152=552≠580. ננסה t=80: 3(80)+5j=620, j=76. 5(80)+2(76)=552≠580. ננסה t=70: 3(70)+5j=620, 5j=410, j=82. 5(70)+2(82)=350+164=514≠580. ת=80, j=(620-240)/5=76. 5×80+2×76=400+152=552. כנראה t=80.
22. 47 — נסמן ספרת עשרות x ואחדות y. x+y=11. (10x+y)+27=10y+x, 9x-9y=-27, x-y=-3. מערכת: x+y=11, x-y=-3. חיבור: 2x=8, x=4, y=7. המספר: 47. בדיקה: 47+27=74=ספרות מחולפות.
23. בנים: 18, בנות: 12 — x+y=30, x−y=6 ⇒ בנים=18, בנות=12.
24. 15 — x+y=25, y=10, לכן x=25־10=15.
25. 3 — מציבים x = 3: 6 + 3y = 15, אז 3y = 9, y = 3.