📐 משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות

1. x = 5 או x = −2 — נחפש a, b כך ש־ab = −10, a + b = −3: a = −5, b = 2. (x − 5)(x + 2) = 0.
2. 0 — Δ = b² − 4ac = 16 − 16 = 0. פתרון יחיד.
3. 2 — x²−1=3x−3 → x²−3x+2=0 → (x−1)(x−2)=0. שני פתרונות: x=1 ו-x=2.
4. ±2.2 — x = ±√5 ≈ ±2.236 ≈ ±2.2.
5. אין פתרון ממשי — Δ = 4 − 20 = −16 < 0. אין פתרונות ממשיים.
6. x = 3 או x = 4 — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם 7: הם 3 ו־4. (x − 3)(x − 4) = 0. x = 3 או x = 4.
7. נקודה אחת (משיקים) — x²=2x−1, x²−2x+1=0, (x−1)²=0, x=1 בלבד — הישר משיק לפרבולה.
8. −2 ≤ x ≤ 3 — (x − 3)(x + 2) ≤ 0. שורשים: x = 3 ו־x = −2. הביטוי ≤ 0 בין השורשים: −2 ≤ x ≤ 3.
9. x < 1 או x > 4 — שורשים: x = 1, x = 4. פרבולה עם a > 0 חיובית מחוץ לשורשים: x < 1 או x > 4.
10. x = ±3 — 2x² = 18 → x² = 9 → x = ±3.
11. x > −1/2 — x²+4x+4 > x²−2x+1 → 6x > −3 → x > −1/2.
12. x = 6 — 45x + 300 = 570 → 45x = 270 → x = 6.
13. 2 מ' — יהי רוחב x מ'. אז אורך = x + 4 מ'. שטח: x(x+4) = 12 ⟹ x² + 4x − 12 = 0. מחפשים שני מספרים שסכומם 4 ומכפלתם −12: המספרים הם 6 ו־−2 (כי 6·(−2)=−12 וגם 6+(−2)=4). לכן x² + 4x − 12 = (x+6)(x−2) = 0, ומכאן x=−6 או x=2. מכיוון שרוחב חייב להיות חיובי, x = 2 מ'.
14. 3(2x − 5y)(2x + 5y) — הוציאו גורם 3: 3(4x² − 25y²). כעת 4x² − 25y² = (2x)² − (5y)² = (2x − 5y)(2x + 5y). לכן 12x² − 75y² = 3(2x − 5y)(2x + 5y).
15. (2, 4) ו־(−2, 4) — x² = 4, x = ±2. נקודות חיתוך: (2,4) ו(−2,4).