מבחנים מיוחדים — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. (−1, 0) ו־(2, 3) — x²−1 = x+1 ⟹ x²−x−2=0 ⟹ (x−2)(x+1)=0 ⟹ x=2, x=−1. y מהישר: x=2→3, x=−1→0.
2. 5 ק"מ — פיתגורס: d = √(3²+4²) = √25 = 5.
3. (3,4) ו-(4,3) — y=7-x. הצבה: x²+(7-x)²=25 → 2x²-14x+24=0 → x²-7x+12=0 → x=3 או x=4. הנקודות (3,4), (4,3).
4. $8$ ו-$12$ — נסמן את שני המספרים $x$ ו-$y$. מהתנאים: $x+y=20$ ו-$xy=96$. לפי ויאטה, $x$ ו-$y$ הם שורשי המשוואה $t^2 - 20t + 96 = 0$. מחשבים: $\Delta = 20^2 - 4\cdot96 = 400 - 384 = 16$. לכן $t = \frac{20 \pm 4}{2}$, כלומר $t=12$ או $t=8$. המספרים הם $8$ ו-$12$. בדיקה: $8+12=20$ ✓, $8\times12=96$ ✓.
5. x=4 — log₂(x(x−2))=3 ⟹ x(x−2)=8 ⟹ x²−2x−8=0 ⟹ (x−4)(x+2)=0. x=4 מתקבל (x=−2 נפסל כי דורש לוג של מספר שלילי).
6. x=4 — בדיקה: √9 + √4 = 3+2 = 5 ✓ עבור x=4.
7. 210 ₪ — 200 × 0.75 × 1.4 = 200 × 1.05 = 210 ₪.
8. 1/4 — y = x^(1/2), y' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x). ב-x=4: 1/(2·2) = 1/4.
9. 22 — g(2) = 4+1 = 5. f(5) = 25-3 = 22.
10. 1 — f(0)=c=3. f(1)=a+b+3=6 → a+b=3. f(-1)=a-b+3=2 → a-b=-1. חיבור: 2a=2 → a=1.
11. מקסימום ב-x=-1, מינימום ב-x=3 — f'(x) = 3x²-6x-9 = 3(x-3)(x+1). f'=0 ב-x=-1 וב-x=3. f''(x)=6x-6: ב-x=-1 שלילי (מקס), ב-x=3 חיובי (מין).
12. x=5 או x=−2 — מערך מוחלט: 2x−3=7 ⟹ x=5, או 2x−3=−7 ⟹ x=−2.
13. 2.4 ליטר — כמות החומר הטהור קבועה: 0.4·4 = 1.6 ליטר. אחרי הוספת x ליטר מים: 1.6/(x+4)=0.25 ⟹ 1.6=0.25x+1 ⟹ 0.25x=0.6 ⟹ x=2.4.
14. 10 ס"מ — צלע x, גובה h=500/x². שטח (בסיס + 4 דפנות) S=x²+4xh=x²+2000/x. S'=2x−2000/x²=0 ⟹ 2x³=2000 ⟹ x³=1000 ⟹ x=10. (S''>0 — מינימום.)
15. (-1, 1) ו-(2, 4) — x² = x+2 → x²-x-2 = 0 → (x-2)(x+1)=0 → x=2 או x=-1. הנקודות (2,4), (-1,1).
16. (2, 1) — אמצע = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) = ((-2+6)/2, (4-2)/2) = (2, 1).
17. 12 — 7 נתונים מסודרים. החציון הוא האמצעי - הרביעי = 12.
18. 12 — המשולש ישר זווית עם ניצבים על הצירים: בסיס 4, גובה 6. שטח = (4·6)/2 = 12.
19. 37° — tan α = 3/4 = 0.75. α = arctan(0.75) ≈ 36.87° ≈ 37°.
20. −2 < x < 2 — f'(x)=3x²−12=3(x−2)(x+2). f'<0 בין השורשים: −2<x<2, ולכן הפונקציה יורדת שם.