חזקות — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. 5 — log(ab) = log a + log b → log₂8 + log₂4 = 3+2 = 5.
2. x⁵ — המכנה: x⁵, ואז x¹⁰ ÷ x⁵ = x⁵.
3. x¹³ — (x⁵)² = x¹⁰, ואז x¹⁰ · x³ = x¹³.
4. √5 — (5·√5)/(√5·√5) = 5√5/5 = √5.
5. x⁴ — חילוק אותו בסיס: (−3) − (−7) = −3 + 7 = 4 ← x⁴.
6. x^(1/2) — שורש ריבועי שווה לחזקה 1/2.
7. −8x⁶ — (−2x²)³ = (−2)³·(x²)³ = −8·x⁶ = −8x⁶. חזקה אי-זוגית שומרת על הסימן השלילי.
8. 2 — 32 = 2⁵ → x+3 = 5 → x = 2.
9. 32a¹⁵b⁵ — (2a³b)⁵ = 2⁵·a³·⁵·b¹·⁵ = 32a¹⁵b⁵.
10. √3 — מכפילים ב-√3/√3: (3√3)/(√3·√3) = 3√3/3 = √3.
11. 4 — 32 = 2⁵, ולכן 32^(2/5) = 2² = 4.
12. 1/2 — 8^(−1/3) = 1/8^(1/3) = 1/2 (כי השורש השלישי של 8 הוא 2).
13. 5 — √75/√3 = √(75/3) = √25 = 5.
14. 1/2 — 4ˣ = 2 ⟺ (2²)ˣ = 2¹ ⟺ 2x = 1 ⟺ x = 1/2.
15. ±√2 — 9 = 3² → x² = 2 → x = ±√2.
16. 4 — log₂(8⁴) = 4·log₂8, ולכן היחס = 4.
17. 4 — log₂(x(x−2))=3 → x²−2x = 8 → x²−2x−8 = 0 → x=4 (פתרון נוסף x=−2 נפסל).
18. 2 — 64 = 2⁶, לכן 64^(1/6) = 2.
19. x = −3 — 1/8 = 1/2³ = 2⁻³, ולכן 2ˣ = 2⁻³ נותן x = −3.
20. x⁶ — (−2)·(−3) = 6, לכן x⁶.