סדרות — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. 1, 4, 9, 16 — 1, 4, 9, 16 הם ריבועים (1², 2², 3², 4²). ההפרשים אינם קבועים (3, 5, 7) והיחסים אינם קבועים, לכן אינה חשבונית ואינה הנדסית.
2. 320 — q³ = 80/10 = 8 → q = 2. a₇ = a₅·q² = 80·4 = 320.
3. 1/3 — 18 = 12/(1−q) ⇒ 1−q = 12/18 = 2/3 ⇒ q = 1/3.
4. 3 — a₃ + a₅ = 2a₁ + 6d = 22. a₈ = a₁ + 7d = 23 → a₁ = 23 − 7d. הצבה: 2(23 − 7d) + 6d = 22 → 46 − 8d = 22 → 8d = 24 → d = 3. (a₁ = 2; בדיקה: a₃ = 8, a₅ = 14, סכום = 22 ✓; a₈ = 23 ✓.)
5. 5624 — 5000·(1.04)³ = 5000·1.124864 = 5624.32 ≈ 5624.
6. 8 — Sₙ = n/2·(10 + 2(n−1)) = n/2·(2n + 8) = n(n + 4). n(n+4) = 96 → n² + 4n − 96 = 0 → n = 8.
7. n = 9 — b_n = 5·2^(n−1) > 1000 ⟹ 2^(n−1) > 200 ⟹ n−1 ≥ 8 (כי 2⁸=256) ⟹ n ≥ 9.
8. 1683 — 3,6,...,99. n=33. S = 33/2·(3+99) = 33·51 = 1683.
9. 33 — Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 ⇒ 222 = 12·(4 + a₁₂)/2 = 6·(4 + a₁₂). לכן 4 + a₁₂ = 37 ⇒ a₁₂ = 33.
10. 9 — b₁ = S∞·(1−q) = 12·(3/4) = 9.
11. 7 — Sₙ = n/2·(2·3 + (n−1)·4) = n/2·(6 + 4n − 4) = n/2·(4n + 2) = n(2n + 1). n(2n+1) = 105 → 2n² + n − 105 = 0 → n = 7.
12. 2 — q² = a₅/a₃ = 162/18 = 9 → q = 3. a₁ = a₃/q² = 18/9 = 2.
13. 3 — b₃−b₁ = b₁(q²−1) = 24. b₂−b₁ = b₁(q−1) = 8. חלוקה: (q²−1)/(q−1) = q+1 = 3 ⟹ q = 2? בדיקה: q=2, b₁(2−1)=8⟹b₁=8, b₃−b₁=8·3=24 ✓. אם המענה 3 — q+1=24/8=3 ⟹ q=2. תיקון: התשובה הנכונה היא q=2.
14. 6 — a₈ − a₃ = 5d ⇒ 34 − 14 = 5d ⇒ d = 4. a₁ = a₃ − 2d = 14 − 8 = 6.
15. 150 — מתוך $a_2 + a_4 = 2a_1 + 4d = 20$ ו-$d = 2$: $2a_1 + 8 = 20 \Rightarrow a_1 = 6$. לכן $a_{10} = 6 + 9 \cdot 2 = 24$. $S_{10} = \frac{10 \cdot (2a_1 + 9d)}{2} = \frac{10 \cdot (12 + 18)}{2} = \frac{10 \cdot 30}{2} = 150$. בדיקה: $a_2 = 8,\ a_4 = 12,\ a_2 + a_4 = 20$ ✓.
16. 3 — a = 18/3 = 6. האיברים: 6−d, 6, 6+d. אחרי החיסור: 5−d, 4, 5+d. תנאי הנדסי: 4² = (5−d)(5+d) ⟹ 16 = 25−d² ⟹ d² = 9 ⟹ d = 3. בדיקה: איברים 3,6,9; אחרי חיסור 1,2,1: 2,4,8 — הנדסית עם יחס 2 ✓.
17. 175 — d=(22−10)/4=3, a₁=10−2·3=4. S₁₀=10·(2·4+9·3)/2=10·35/2=175.
18. √2 — b₁·b₂·b₃·b₄ = 1·q·q²·q³ = q⁶ = 8 ⟹ q = 8^(1/6) = (2³)^(1/6) = 2^(1/2) = √2.
19. a₈ — aₙ = 12 + (n−1)·(−2) = 14 − 2n. a₇ = 0, a₈ = −2. לכן האיבר הראשון השלילי הוא a₈.
20. 6 — a₃ = a₁+2d = 2a₁ ⟹ 2d = a₁. a₅ = a₁+4d = a₁+2a₁ = 3a₁ = 18 ⟹ a₁ = 6.