דף עבודה: חדו״א (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה י"א · 4 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.מהי נקודת הפיתול (ערך ה-x) של $f (x) = x^{3}$ ?
f(x) = x^{3}
(א) $x = 0$
(ב) $x = - 1$
(ג)אף תשובה אינה נכונה
(ד) $x = 1$
2.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ ?
f(x) = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8
(א) $3 x^{2} + 12 x + 12$
(ב) $3 x^{2} + 12 x + 12 + 8$
(ג) $x^{2} + 6 x + 12$
(ד) $3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x$
3.נתון $f (x) = x^{3} - 12 x$ . מהו ערך המינימום המקומי?
f(x) = x^{3} - 12x
(א)−16
(ב)0
(ג)16
(ד)−12
4.כמה נקודות פיתול יש לפונקציה $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ ?
f(x) = x^{4} - 4x^{3}
(א)1
(ב)3
(ג)אינסוף
(ד)2
5.נפח גליל קבוע. ביטוי לשטח פנים... מהו x שעבורו $f (x) = x^{2} + \frac{16}{x}$ מינימלי (x>0)?
(א)1
(ב)4
(ג)8
(ד)2
6.מצא את משוואת המשיק לגרף $f (x) = x^{3} + 1$ בנקודה שבה $x = - 1$ .
f(x) = x^{3} + 1
(א) $y = 4 x + 3$
(ב) $y = - 3 x + 3$
(ג) $y = 3 x$
(ד) $y = 3 x + 3$
7.מצא את משוואת המשיק לגרף $f (x) = x^{2} + 7 x + 10$ בנקודה שבה $x = - 3$ .
f(x) = x^{2} + 7x + 10
(א) $y = 2 x + 1$
(ב) $y = x + 1$
(ג) $y = - x + 1$
(ד) $y = x - 2$
8.פונקציה f עולה כאשר $f^{'} (x) > 0$ . נתון $f^{'} (x) = (x - 1) (x - 4)$ . באיזה תחום f יורדת?
(א)x < 1
(ב)x < 1 או x > 4
(ג)x > 4
(ד)1 < x < 4
9.מהי הנגזרת של $f (x) = x \cdot x = x^{\frac{3}{2}}$ ?
(א) $(\frac{1}{2}) x$
(ב) $x$
(ג) $(\frac{3}{2}) x$
(ד) $(\frac{3}{2}) x$
10.מצא את משוואת המשיק לגרף $f (x) = x^{2} - 8 x$ בנקודה שבה $x = 4$ .
f(x) = x^{2} - 8x
(א) $y = x - 16$
(ב) $y = - 16$
(ג)אף תשובה אינה נכונה
(ד) $y = - 15$
11.מהי נקודת הפיתול (ערך ה-x) של $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ ?
f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1
(א) $x = 0$
(ב) $x = - 2$
(ג) $x = 2$
(ד) $x = 3$
12.מהי הנגזרת של $f (x) = x + x + 1$ ?
f(x) = x + \sqrt{x} + 1
(א) $1 + 1/ x$
(ב) $\frac{1}{2 x}$
(ג) $1 + \frac{1}{2 x}$
(ד) $1 + x$
13.מהי הנגזרת השנייה $f^{''} (x)$ של $f (x) = x^{2} + 4 x + 1$ ?
f(x) = x^{2} + 4x + 1
(א)0
(ב) $x^{2} + 4 x + 1$
(ג)2x + 4
(ד)2
14.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ?
f(x) = \frac{x}{x+1}
(א) $\frac{x}{x + 1}^{2}$
(ב) $\frac{1}{x + 1}$
(ג) $- \frac{1}{x + 1}^{2}$
(ד) $\frac{1}{x + 1}^{2}$
15.נתון $f (x) = x^{3} - 12 x$ . מהו ערך המקסימום המקומי?
f(x) = x^{3} - 12x
(א)−16
(ב)0
(ג)16
(ד)12

מפתח תשובות

$x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2}, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
$3x^{2} + 12x + 12$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 12x + 12$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
−16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2$. ב-$x=2: f''>0 ⇒$ מינימום$. f(2)=8-24=-16$.
2 — $f''(x) = 12x^{2} - 24x$. מספר הנקודות שבהן f'' מתאפסת ומחליפה סימן הוא 2.
2 — $f'=2x-\frac{16}{x}^{2}=0 ⇒ 2x^{3}=16 ⇒ x^{3}=8 ⇒ x=2$.
$y = 3x + 3$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2}$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(-1) = 0$. משוואת המשיק: $y - 0 = 3(x - -1) ⇒ y = 3x + 3$.
$y = x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 7$, ובנקודה $m = 1$. ערך הפונקציה: $f(-3) = -2$. משוואת המשיק: $y - -2 = 1(x - -3) ⇒ y = x + 1$.
1 < x < 4 — המכפלה (x−1)(x−4) שלילית בין השורשים, כלומר 1<x<4, ושם f יורדת.
$(\frac{3}{2})\sqrt{x}$ — $x^{\frac{3}{2}}$ נגזרת: $(\frac{3}{2})x^{\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2})\sqrt{x}$.
$y = -16$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 8$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(4) = -16$. משוואת המשיק: $y - -16 = 0(x - 4) ⇒ y = -16$.
$x = 2$ — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9, f''(x) = 6x - 12$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 2$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
$1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $(x)'=1, (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, (1)'=0$. סכום: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
2 — $f'(x) = 2x + 4$, ולכן $f''(x) = 2 ($גוזרים פעמיים).
$\frac{1}{x+1}^{2}$ — כלל המנה: $\frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^{2}} = \frac{(x+1) - x}{(x+1)^{2}} = \frac{1}{(x+1)^{2}}$.
16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2. f''(x)=6x$; ב-$x=-2$ שלילי ⇒ מקסימום$. f(-2)=-8+24=16$.