⚡ MathHero · www.geekhero.co.il/mathכיתה י"א · 4 יח"ל · רמה בינוני · 20 שאלות

חדו״א — כיתה י"א · 4 יח"ל (בינוני)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

1.כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $f (x) = 2 x^{3} - 6 x$ ?
y = 2x
(א)1
(ב)3
(ג)0
(ד)2
2.מצא את משוואת המשיק לגרף $f (x) = 2 x^{2} + x$ בנקודה שבה $x = 2$ .
y = 2x
(א) $y = 9 x - 8$
(ב) $y = 10 x - 8$
(ג) $y = - 9 x - 8$
(ד) $y = 9 x + 10$
3.מהי הנגזרת של $f (x) = - 3 x^{3} + x^{2} - x$ ?
y = -3x
(א) $- 9 x^{3} + 2 x^{2} - x$
(ב) $- 3 x^{2} + x - 1$
(ג) $- 9 x^{2} + 2 x - 1$
(ד) $- 9 x^{2} + 2 x - 1 + 1$
4.מהי הנגזרת של $f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} - 2$ ?
y = −x
(א) $- 4 x^{3} + 6 x + 2$
(ב) $- 4 x^{3} + 6 x$
(ג) $- x^{3} + 3 x$
(ד) $- 4 x^{4} + 6 x^{2}$
5.כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $f (x) = - x^{3} + 12 x$ ?
y = −x
(א)2
(ב)0
(ג)1
(ד)3
6.מצא את נקודת הקיצון של הפרבולה $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ . מהי הנקודה (וסוגה)?
y = 2x
(א) $(1, - 3)$
(ב) $(- 1, 3)$
(ג) $(- 1, - 2)$
(ד) $(- 1, - 3)$
7.מהו שיפוע המשיק לגרף $f (x) = 2 x^{2} - 8 x$ בנקודה שבה $x = 4$ ?
y = 2x
(א)8
(ב)9
(ג)0
(ד)−8
8.קבע את תחומי העלייה והירידה של $f (x) = x^{2} + 6 x$ .
y = x
(א)יורדת בכל תחום ההגדרה
(ב)יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3
(ג)עולה בכל תחום ההגדרה
(ד)עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3
9.מהו שיפוע המשיק לגרף $f (x) = x^{2} - 5 x$ בנקודה שבה $x = 5$ ?
y = x
(א)−5
(ב)6
(ג)0
(ד)5
10.סכום שני מספרים הוא 20. מהי המכפלה המקסימלית שלהם?
(א)100
(ב)40
(ג)99
(ד)200
11.באיזו נקודה המשיק לגרף $f (x) = x^{2} - 4 x$ מקביל לציר ה-x?
y = x
(א) $x = 4$
(ב) $x = 0$
(ג) $x = - 2$
(ד) $x = 2$
12.מצא את נקודת הקיצון של הפרבולה $f (x) = x^{2} + 2 x - 15$ . מהי הנקודה (וסוגה)?
y = x
(א) $(- 1, - 16)$
(ב) $(- 1, - 15)$
(ג) $(- 1, 16)$
(ד) $(1, - 16)$
13.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{1}{x}$ ?
(א) $\frac{1}{x ^{2}}$
(ב)ln x
(ג) $- \frac{1}{x ^{2}}$
(ד) $- \frac{1}{x}$
14.מצא את משוואת המשיק לגרף $f (x) = x^{3}$ בנקודה שבה $x = 1$ .
y = x
(א) $y = - 3 x - 2$
(ב) $y = 4 x - 2$
(ג) $y = 3 x + 1$
(ד) $y = 3 x - 2$
15.מהי הנגזרת של $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ?
(א) $\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x ^{2}}$
(ב) $\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x}$
(ג) $1/ x + \frac{1}{x ^{2}}$
(ד) $\frac{1}{2 x} + \frac{1}{x ^{2}}$
16.כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ?
y = x
(א)1
(ב)2
(ג)3
(ד)0
17.מהי הנגזרת של $f (x) = x (x^{2} - 3)$ ?
y = x
(א) $2 x^{2} - 3$
(ב) $x^{2} - 3$
(ג) $3 x^{2}$
(ד) $3 x^{2} - 3$
18.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ ?
(א) $- \frac{2}{x}$
(ב) $\frac{2}{x}^{3}$
(ג) $- \frac{1}{x}^{3}$
(ד) $- \frac{2}{x}^{3}$
19.קבע את תחומי העלייה והירידה של $f (x) = x^{2} - 8 x + 2$ .
y = x
(א)יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4
(ב)יורדת בכל תחום ההגדרה
(ג)עולה ב-x < 4, יורדת ב-x > 4
(ד)עולה בכל תחום ההגדרה
20.מהו שיפוע המשיק לגרף $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ בנקודה שבה $x = - 1$ ?
y = 3x
(א)−1
(ב)8
(ג)7
(ד)−7

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math

פתרונות

2 — $f'(x) = 6x^{2} - 6$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
$y = 9x - 8$ — שיפוע: $f'(x) = 4x + 1$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 10$. משוואת המשיק: $y - 10 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 8$.
$-9x^{2} + 2x - 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -9x^{2} + 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
$-4x^{3} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -4x^{3} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
2 — $f'(x) = 12 - 3x^{2}$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
$(-1, -3)$ — $f'(x) = 4x + 4$. נאפס: $4x + 4 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -3)$.
8 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x - 8$. נציב $x = 4: f'(4) = 8$.
יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3 — $f'(x) = 2x + 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -3$. לכן: יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3.
5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 5$. נציב $x = 5: f'(5) = 5$.
100 — $x+y=20 ⇒ y=20-x. P=x(20-x)=20x-x^{2}. P'=20-2x=0 ⇒ x=10, y=10$. מכפלה: 100.
$x = 2$ — משיק מקביל לציר x ⇒ שיפוע $0. f'(x)=2x-4=0 ⇒ x=2$.
$(-1, -16)$ — $f'(x) = 2x + 2$. נאפס: $2x + 2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -16)$.
$-\frac{1}{x^{2}}$ — נגזרת של $\frac{1}{x} = x^{-1}$ היא $-x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$.
$y = 3x - 2$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2}$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 3(x - 1) ⇒ y = 3x - 2$.
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$ — $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, (-\frac{1}{x})' = +\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$.
2 — $f'(x) = 3x^{2} - 6x$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 0, 2)$.
$3x^{2} - 3$ — פתח: $x^{3}-3x$, נגזרת $3x^{2}-3. ($או כלל מכפלה: $1 \cdot (x^{2}-3)+x \cdot 2x)$.
$-\frac{2}{x}^{3}$ — נגזרת של $x^{-2}$ היא $-2x^{-3} = -\frac{2}{x}^{3}$.
יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4 — $f'(x) = 2x - 8$. מאפסים: $x = 4$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 4$. לכן: יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4.
7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 9x^{2} - 2$. נציב $x = -1: f'(-1) = 7$.