⚡ MathHero · www.geekhero.co.il/mathכיתה י"א · 5 יח"ל · רמה קשה · 20 שאלות

אלגברה — כיתה י"א · 5 יח"ל (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

1.במשולש $a = 6$ , $b = 10$ והזווית ביניהן $6 0^{\circ}$ . חשבו את הצלע $c$ שמולה.
(א) $c = 219$
(ב) $c = 16$
(ג) $c = 196$
(ד) $c = 136$
2.במשולש $a = 9$ , $b = 8$ והזווית הכלואה ביניהן $9 0^{\circ}$ . חשבו את שטח המשולש.
(א) $72$
(ב) $1$
(ג) $36$
(ד) $\frac{73}{2}$
3.נתון $sin α = \frac{8}{17}$ ו- $α$ זווית חדה. חשבו את $sin 2 α$ .
(א) $sin 2 α = \frac{8}{17}$
(ב) $sin 2 α = \frac{161}{289}$
(ג) $sin 2 α = \frac{16}{17}$
(ד) $sin 2 α = \frac{240}{289}$
4.נתון $sin α = \frac{5}{13}$ ו- $α$ זווית חדה. חשבו את $sin 2 α$ .
(א) $sin 2 α = \frac{120}{169}$
(ב) $sin 2 α = \frac{119}{169}$
(ג) $sin 2 α = \frac{5}{13}$
(ד) $sin 2 α = \frac{10}{13}$
5.במשולש $a = 10$ , $b = 10$ והזווית הכלואה ביניהן $3 0^{\circ}$ . חשבו את שטח המשולש.
(א) $25$
(ב) $50$
(ג) $100$
(ד) $\frac{1}{2}$
6.במשולש $∠ A = 3 0^{\circ}$ , הצלע $a = 6$ שמולה, ו- $∠ B = 9 0^{\circ}$ . חשבו את הצלע $b$ .
(א) $b = 6$
(ב) $b = 12$
(ג) $b = 3$
(ד) $b = 18$
7.עבור אילו ערכי $k$ למשוואה $x^{2} + 6 x + k = 0$ יש שני פתרונות ממשיים שונים?
(א) $k < 9$
(ב) $k < - 9$
(ג) $k \leq 9$
(ד) $k > 9$
8.במשולש $a = 9$ , $b = 5$ והזווית ביניהן $6 0^{\circ}$ . חשבו את הצלע $c$ שמולה.
(א) $c = 14$
(ב) $c = 61$
(ג) $c = 151$
(ד) $c = 106$
9.פתרו את המערכת ${x + y = 5 x y = 4$ .
(א) $(x, y) = (4, 1); (1, 4)$
(ב) $(x, y) = (4, 4)$
(ג) $(x, y) = (- 4, - 1); (- 1, - 4)$
(ד) $(x, y) = (4, 1)$
10.במשולש $∠ A = 4 5^{\circ}$ , הצלע $a = 8$ שמולה, ו- $∠ B = 9 0^{\circ}$ . חשבו את הצלע $b$ .
(א) $b = 82$
(ב) $b = 24$
(ג) $b = 8$
(ד) $b = 4$
11.במשולש $∠ A = 3 0^{\circ}$ , הצלע $a = 14$ שמולה, ו- $∠ B = 9 0^{\circ}$ . חשבו את הצלע $b$ .
(א) $b = 7$
(ב) $b = 42$
(ג) $b = 14$
(ד) $b = 28$
12.פתרו את המערכת ${x + y = 8 x y = 15$ .
(א) $(x, y) = (5, 5)$
(ב) $(x, y) = (- 5, - 3); (- 3, - 5)$
(ג) $(x, y) = (5, 3)$
(ד) $(x, y) = (5, 3); (3, 5)$
13.במשולש $∠ A = 3 0^{\circ}$ , הצלע $a = 16$ שמולה, ו- $∠ B = 9 0^{\circ}$ . חשבו את הצלע $b$ .
(א) $b = 32$
(ב) $b = 48$
(ג) $b = 16$
(ד) $b = 8$
14.פתרו את המערכת ${x + y = 6 x y = 8$ .
(א) $(x, y) = (- 4, - 2); (- 2, - 4)$
(ב) $(x, y) = (4, 2)$
(ג) $(x, y) = (4, 4)$
(ד) $(x, y) = (4, 2); (2, 4)$
15.פתרו את המערכת ${x + y = 7 x y = 12$ .
(א) $(x, y) = (- 4, - 3); (- 3, - 4)$
(ב) $(x, y) = (4, 4)$
(ג) $(x, y) = (4, 3)$
(ד) $(x, y) = (4, 3); (3, 4)$
16.במשולש $a = 5$ , $b = 8$ והזווית ביניהן $6 0^{\circ}$ . חשבו את הצלע $c$ שמולה.
(א) $c = 13$
(ב) $c = 129$
(ג) $c = 7$
(ד) $c = 89$
17.במשולש $∠ A = 4 5^{\circ}$ , הצלע $a = 6$ שמולה, ו- $∠ B = 9 0^{\circ}$ . חשבו את הצלע $b$ .
(א) $b = 18$
(ב) $b = 3$
(ג) $b = 62$
(ד) $b = 6$
18.במשולש $a = 2$ , $b = 3$ והזווית ביניהן $12 0^{\circ}$ . חשבו את הצלע $c$ שמולה.
(א) $c = 19$
(ב) $c = 7$
(ג) $c = 13$
(ד) $c = 5$
19.פתרו את המערכת ${x + y = 10 x y = 21$ .
(א) $(x, y) = (7, 3)$
(ב) $(x, y) = (- 7, - 3); (- 3, - 7)$
(ג) $(x, y) = (7, 3); (3, 7)$
(ד) $(x, y) = (7, 7)$
20.עבור אילו ערכי $k$ למשוואה $x^{2} + k x + 25 = 0$ יש פתרון יחיד (שורש כפול)?
(א) $k = \pm 25$
(ב) $k = 10$
(ג) $k = \pm 10$
(ד) $k = \pm 20$

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math

פתרונות

$c=2\sqrt{19}$ — לפי משפט הקוסינוסים: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=36+100-2\cdot6\cdot10\cdot(\frac{1}{2})=76$, ולכן $c=2\sqrt{19}$.
$36$ — $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\cdot9\cdot8\cdot\sin 90^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot72\cdot1=36$.
$\sin 2\alpha=\frac{240}{289}$ — זווית חדה $\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{15}{17}$. לכן $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{8}{17}\cdot\dfrac{15}{17}=\frac{240}{289}$.
$\sin 2\alpha=\frac{120}{169}$ — זווית חדה $\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{12}{13}$. לכן $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{12}{13}=\frac{120}{169}$.
$25$ — $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot10\cdot\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot100\cdot\frac{1}{2}=25$.
$b=12$ — משפט הסינוסים: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$, ולכן $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{6\cdot\sin 90^\circ}{\sin 30^\circ}=12$.
$k<9$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $36-4k>0$, ומכאן $k<9$.
$c=\sqrt{61}$ — לפי משפט הקוסינוסים: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=81+25-2\cdot9\cdot5\cdot(\frac{1}{2})=61$, ולכן $c=\sqrt{61}$.
$(x,y)=(4,1)\ ;\ (1,4)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-5t+4=0$, כלומר $t=4$ או $t=1$. לכן הפתרונות הם $(4,1)$ ו-$(1,4)$.
$b=8\sqrt{2}$ — משפט הסינוסים: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$, ולכן $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{8\cdot\sin 90^\circ}{\sin 45^\circ}=8\sqrt{2}$.
$b=28$ — משפט הסינוסים: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$, ולכן $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{14\cdot\sin 90^\circ}{\sin 30^\circ}=28$.
$(x,y)=(5,3)\ ;\ (3,5)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-8t+15=0$, כלומר $t=5$ או $t=3$. לכן הפתרונות הם $(5,3)$ ו-$(3,5)$.
$b=32$ — משפט הסינוסים: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$, ולכן $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{16\cdot\sin 90^\circ}{\sin 30^\circ}=32$.
$(x,y)=(4,2)\ ;\ (2,4)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-6t+8=0$, כלומר $t=4$ או $t=2$. לכן הפתרונות הם $(4,2)$ ו-$(2,4)$.
$(x,y)=(4,3)\ ;\ (3,4)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-7t+12=0$, כלומר $t=4$ או $t=3$. לכן הפתרונות הם $(4,3)$ ו-$(3,4)$.
$c=7$ — לפי משפט הקוסינוסים: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot(\frac{1}{2})=49$, ולכן $c=7$.
$b=6\sqrt{2}$ — משפט הסינוסים: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$, ולכן $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{6\cdot\sin 90^\circ}{\sin 45^\circ}=6\sqrt{2}$.
$c=\sqrt{19}$ — לפי משפט הקוסינוסים: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=4+9-2\cdot2\cdot3\cdot(-\frac{1}{2})=19$, ולכן $c=\sqrt{19}$.
$(x,y)=(7,3)\ ;\ (3,7)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-10t+21=0$, כלומר $t=7$ או $t=3$. לכן הפתרונות הם $(7,3)$ ו-$(3,7)$.
$k=\pm10$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot1\cdot25=0$, כלומר $k^2=100$, ולכן $k=\pm10$.