דף עבודה: פונקציות (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה י"ב · 3 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.מצא את משוואת הישר העובר דרך $(- 3, - 3)$ ו- $(- 4, 3)$ .
(א) $y = - 6 x - 20$
(ב) $y = - 6 x - 21$
(ג) $y = - 6 x + 21$
(ד) $y = 6 x - 21$
2.מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה $y = x^{2} - 4 x$ עם ציר ה-x.
y = x^{2} - 4x
(א) $x = 2, x = - 2$
(ב) $x = 0, x = - 4$
(ג) $x = 0, x = 4$
(ד) $x = 1, x = 5$
3.מצא את נקודת החיתוך של הישרים $y = - 2 x - 2$ ו- $y = - x - 1$ .
y = -2x - 2y = -x - 1
(א) $(- 1, 1)$
(ב) $(1, 0)$
(ג) $(0, - 1)$
(ד) $(- 1, 0)$
4.חברה קטנה בוחנת את הרווח שלה (באלפי ₪) כתלות בכמות המכירות $x$ (במאות יחידות) לפי המודל $f (x) = - x^{2} + 10 x - 9$ . עבור אילו כמויות מכירה הרווח שווה ל-15 אלף ₪?
f(x) = -x^2+10x-9
(א)500 יחידות בלבד
(ב)300 יחידות או 700 יחידות
(ג)200 יחידות או 800 יחידות
(ד)400 יחידות או 600 יחידות
5.מצא את קודקוד הפרבולה $y = x^{2} + 2 x + 6$ .
y = x^{2} + 2x + 6
(א) $(- 1, 5)$
(ב) $(5, - 1)$
(ג) $(- 1, - 5)$
(ד) $(1, 5)$
6.רקטת צעצוע משוגרת, וגובהה בכל רגע $t$ (בשניות) נתון על ידי $h (t) = - 4 t^{2} + 16 t + 2$ . מהו הגובה המקסימלי שהרקטה מגיעה אליו?
(א)20 מטרים
(ב)2 מטרים
(ג)16 מטרים
(ד)18 מטרים
7.גובה כדור (במטרים) נתון על ידי $h (t) = - 2 x^{2} + 20 x$ , כאשר t הזמן בשניות. מהו הגובה המרבי ומתי הוא מושג?
(א)50 מטר, בזמן 6 שניות
(ב)50 מטר, בזמן 5 שניות
(ג)5 מטר, בזמן 50 שניות
(ד)55 מטר, בזמן 5 שניות
8.גובה כדור (במטרים) נתון על ידי $h (t) = - 2 t^{2} + 16 t$ , כאשר t הזמן בשניות. מהו הגובה המרבי ומתי הוא מושג?
(א)37 מטר, בזמן 4 שניות
(ב)32 מטר, בזמן 4 שניות
(ג)4 מטר, בזמן 32 שניות
(ד)32 מטר, בזמן 5 שניות
9.מצא את נקודת החיתוך של הישרים $y = 3 x - 3$ ו- $y = 2 x + 2$ .
y = 3x - 3y = 2x + 2
(א) $(5, 13)$
(ב) $(- 5, 12)$
(ג) $(12, 5)$
(ד) $(5, 12)$
10.הרווח החודשי (באלפי ₪) של חנות אופנה כתלות באחוז ההנחה $x$ נתון על ידי $P (x) = - 2 x^{2} + 16 x + 10$ . מהו הרווח כאשר ההנחה היא $x = 3$ אחוזים?
(א)30 אלף ₪
(ב)76 אלף ₪
(ג)52 אלף ₪
(ד)40 אלף ₪
11.מסלול חץ הנורה מקשת מתואר על ידי $f (x) = - x^{2} + 6 x + 7$ , כאשר $x$ המרחק האופקי במטרים ו- $f (x)$ הגובה במטרים. שני המרחקים האופקיים שבהם גובה החץ הוא 12 מטרים — מהו סכומם?
f(x) = -x^2+6x+7
(א)10
(ב)8
(ג)4
(ד)6
12.מצא את קודקוד הפרבולה $y = x^{2} + 2 x - 3$ .
y = x^{2} + 2x - 3
(א) $(- 4, - 1)$
(ב) $(- 1, - 4)$
(ג) $(- 1, 4)$
(ד) $(1, - 4)$
13.הרווח (באלפי ₪) ממכירת כרטיסים למופע, כתלות במספר הכרטיסים שנמכרו (במאות) $x$ , נתון על ידי $P (x) = - 0.5 x^{2} + 6 x + 2$ . מהו הרווח המקסימלי?
(א)18 אלף ₪
(ב)20 אלף ₪
(ג)2 אלף ₪
(ד)24 אלף ₪
14.מצא את משוואת הישר העובר דרך $(- 1, - 1)$ ו- $(- 2, 5)$ .
(א) $y = - 6 x + 7$
(ב) $y = - 6 x - 7$
(ג) $y = - 6 x - 6$
(ד) $y = 6 x - 7$
15.נתונים שני מודלים המתארים מסלולי כדורים: $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x + 3$ ו- $g (x) = - x^{2} + 8 x + 3$ , כאשר $x$ המרחק האופקי במטרים. איזו מהטענות הבאות נכונה?
f(x) = -2x^2+8x+3g(x) = -x^2+8x+3
(א)הכדור לפי $g$ מגיע לגובה המקסימלי במרחק קטן יותר מהכדור לפי $f$
(ב)הגובה המקסימלי של $f$ גדול מהגובה המקסימלי של $g$
(ג)שני הכדורים מגיעים לגובה המקסימלי באותו מרחק אופקי
(ד)הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק קטן יותר מהכדור לפי $g$

מפתח תשובות

$y = -6x - 21$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{3 - -3}{-4 - -3} = -6$. נציב נקודה: $b = -3 - (-6)(-3) = -21$. המשוואה: $y = -6x - 21$.
$x = 0 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 4x = 0$. פירוק לגורמים: $x(x - 4) = 0$, ומכאן $x = 0$ או $x = 4$.
$(-1, 0)$ — משווים: $-2x + -2 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 1$, אז $x = -1$. נציב: $y = -2 \cdot (-1) + -2 = 0$. נקודת החיתוך: $(-1, 0)$.
400 יחידות או 600 יחידות — מציבים $f(x)=15$: $-x^2+10x-9=15$, כלומר $-x^2+10x-24=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-10x+24=0$. הדיסקרימיננטה: $\Delta=100-96=4$, $\sqrt{\Delta}=2$. הפתרונות: $x=\frac{10\pm2}{2}$, כלומר $x=4$ או $x=6$. מכיוון ש-$x$ נמדד במאות יחידות, מדובר ב-400 או 600 יחידות.
$(-1, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + 6 = 5$. הקודקוד: $(-1, 5)$.
18 מטרים — ערך ה-$t$ של הקודקוד: $t=-\dfrac{16}{2\cdot(-4)}=2$. הגובה המקסימלי: $h(2)=-4\cdot2^2+16\cdot2+2=-16+32+2=18$.
50 מטר, בזמן 5 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -20/(2 \cdot (-2)) = 5$ שניות. הגובה: $h(5) = 50$ מטר.
32 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -16/(2 \cdot (-2)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 32$ מטר.
$(5, 12)$ — משווים: $3x + -3 = 2x + 2$. מכאן $1x = 5$, אז $x = 5$. נציב: $y = 3 \cdot (5) + -3 = 12$. נקודת החיתוך: $(5, 12)$.
40 אלף ₪ — מציבים $x=3$: $P(3)=-2\cdot3^2+16\cdot3+10=-2\cdot9+48+10=-18+48+10=40$.
6 — מציבים $f(x)=12$: $-x^2+6x+7=12$, כלומר $-x^2+6x-5=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-6x+5=0$, ומפרקים: $(x-1)(x-5)=0$, ולכן $x=1$ או $x=5$. שני הערכים חיוביים והגיוניים (תחום התנועה של החץ הוא בין $x=0$ ל-$x=7$, נקודת הנחיתה). סכום שני המרחקים: $1+5=6$.
$(-1, -4)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + -3 = -4$. הקודקוד: $(-1, -4)$.
20 אלף ₪ — ערך ה-x של הקודקוד: $x=-\dfrac{6}{2\cdot(-0.5)}=6$. הרווח המקסימלי: $P(6)=-0.5\cdot6^2+6\cdot6+2=-18+36+2=20$.
$y = -6x - 7$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -1}{-2 - -1} = -6$. נציב נקודה: $b = -1 - (-6)(-1) = -7$. המשוואה: $y = -6x - 7$.
הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק קטן יותר מהכדור לפי $g$ — מרחק המקסימום מתקבל מנוסחת שיעור ה-$x$ של קודקוד הפרבולה $x=-\frac{b}{2a}$. עבור $f$: $a=-2,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. עבור $g$: $a=-1,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4$. מכיוון ש-$2<4$, הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק אופקי קטן יותר. (בנוסף, $f(2)=11$ בעוד $g(4)=19$, כך שהגובה המקסימלי של $f$ דווקא קטן יותר — כך שהטענה השלישית שגויה.)