דף עבודה: טריגונומטריה (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה י"ב · 5 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.חשב $sin (9 0^{\circ})$ על ידי צמצום הזווית למעגל היחידה.
(א) $1$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $0$
(ד) $- 1$
2.מהו $sin (21 0^{\circ})$ ?
(א) $1$
(ב) $0$
(ג) $- 1$
(ד) $- \frac{1}{2}$
3.המר $30 0^{\circ}$ לרדיאנים.
(א) $\frac{2 π}{3}$
(ב) $\frac{5 π}{3}$
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{2}$
4.לאיזה ביטוי שווה $sin (a + b)$ ?
(א) $sin a cos b - cos a sin b$
(ב) $cos a cos b - sin a sin b$
(ג) $sin a cos b + cos a sin b$
(ד) $cos a cos b + sin a sin b$
5.במשולש, $A = 3 0^{\circ}, B = 4 5^{\circ}$ וגם $a = 10$ . מהו $b$ (לפי חוק הסינוסים)?
(א) $103$
(ב) $20$
(ג) $102$
(ד) $52$
6.תיבה שמידותיה $4$ ס"מ, $4$ ס"מ ו- $7$ ס"מ. מהו אורך אלכסון הפאה הריבועית שמידותיה $4$ ס"מ ו- $4$ ס"מ?
(א) $42$ ס"מ
(ב) $8$ ס"מ
(ג) $9$ ס"מ
(ד) $65$ ס"מ
7.בתיבה $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ הבסיס התחתון הוא מלבן שמידותיו $5$ ס"מ ו- $12$ ס"מ, וגובה התיבה הוא $12$ ס"מ. מהו $tan α$ , כאשר $α$ היא הזווית בין האלכסון הראשי $A C^{'}$ לבין מישור הבסיס?
(א) $\frac{13}{12}$
(ב) $\frac{12}{13}$
(ג) $\frac{5}{13}$
(ד) $\frac{12}{5}$
8.חשב $sin (6 0^{\circ})$ על ידי צמצום הזווית למעגל היחידה.
(א) $0$
(ב) $\frac{3}{2}$
(ג) $- 1$
(ד) $1$
9.בפירמידה $S A B C$ , המשולש $A B C$ הוא בסיסה, כאשר הזווית ב- $B$ היא זווית ישרה, $A B = 3$ ו- $B C = 4$ . המקצוע $A S$ הוא גובה הפירמידה (כלומר $A S ⊥$ מישור הבסיס), ואורכו $12$ . מהו אורך המקצוע $S C$ ?
(א) $153$
(ב) $410$
(ג)16
(ד)13
10.בפירמידה ישרה $S A B C D$ שבסיסה ריבוע, הזווית שיוצר המקצוע הצדדי $S A$ עם מישור הבסיס היא $3 0^{\circ}$ , וחצי אלכסון הבסיס $O A = 63$ . מהו גובה הפירמידה?
(א) $23$
(ב)6
(ג) $63$
(ד)18
11.מהו $cos (27 0^{\circ})$ ?
(א) $1$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $0$
(ד) $- 1$
12.חשב $sin (24 0^{\circ})$ על ידי צמצום הזווית למעגל היחידה.
(א) $- 1$
(ב) $- \frac{3}{2}$
(ג) $0$
(ד) $1$
13.מהו $sin (15 0^{\circ})$ ?
(א) $- 1$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $0$
(ד) $1$
14.בתיבה $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ הבסיס התחתון הוא מלבן שמידותיו $9$ ס"מ ו- $12$ ס"מ, וגובה התיבה הוא $8$ ס"מ. מהו $tan α$ , כאשר $α$ היא הזווית שבין האלכסון הראשי $A C^{'}$ לבין ההיטל שלו $A C$ על מישור הבסיס?
(א) $\frac{15}{8}$
(ב) $\frac{8}{9}$
(ג) $\frac{8}{15}$
(ד) $\frac{8}{12}$
15.חשב $sin (69 0^{\circ})$ על ידי צמצום הזווית למעגל היחידה.
(א) $0$
(ב) $- 1$
(ג) $- \frac{1}{2}$
(ד) $1$

מפתח תשובות

$1$ — מצמצמים $90^\circ$ אל $90^\circ$, ולכן $\sin(90^\circ)=1$.
$-\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(210^\circ)=-\frac{1}{2}$.
$\frac{5\pi}{3}$ — $300^\circ=300\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}$ רדיאנים.
$\sin a\cos b+\cos a\sin b$ — נוסחת סכום הזוויות: $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.
$10\sqrt{2}$ — $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=10\sqrt2$.
$4\sqrt{2}$ ס"מ — אלכסון הפאה: $\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ ס"מ. $9$ הוא אורך האלכסון הראשי של כל התיבה ($\sqrt{4^2+4^2+7^2}=\sqrt{81}=9$) — טעות של בלבול בין אלכסון פאה לאלכסון ראשי. $\sqrt{65}$ מתקבל מבחירת זוג מידות שגוי ($4,7$), ו-$8$ מתקבל מחיבור $4+4$ בלי להעלות בריבוע.
$\dfrac{12}{13}$ — אלכסון הבסיס: $AC=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ ס"מ. לכן $\tan\alpha=\dfrac{CC'}{AC}=\dfrac{12}{13}$. $\dfrac{13}{12}$ מתקבל מהיפוך היחס, $\dfrac{12}{5}$ מחלוקה במקצוע בודד של הבסיס במקום באלכסון, ו-$\dfrac{5}{13}$ הוא ערך שאינו קשור לזווית $\alpha$ (ערך דמוי סינוס משולש אחר).
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $60^\circ$ אל $60^\circ$, ולכן $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
13 — במשולש $ABC$ הישר-זווית: $AC^2=AB^2+BC^2=9+16=25$, ולכן $AC=5$. מאחר ש-$AS\perp$ מישור הבסיס, המשולש $SAC$ ישר-זווית ב-$A$: $SC^2=SA^2+AC^2=144+25=169$, ולכן $SC=13$.
6 — $\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{OA}$, ולכן $h=OA\cdot\frac{1}{\sqrt3}=6\sqrt3\cdot\frac{1}{\sqrt3}=6$.
$0$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(270^\circ)=0$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $240^\circ$ נמצא ברביע השלישי ($180^\circ<240^\circ<270^\circ$), שם הסינוס שלילי. זווית העזר: $240^\circ-180^\circ=60^\circ$. מכיוון ש-$\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, מתקבל $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}$.
$\dfrac{8}{15}$ — אלכסון הבסיס: $AC=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ ס"מ. לכן $\tan\alpha=\dfrac{CC'}{AC}=\dfrac{8}{15}$. האפשרויות $\dfrac{8}{9}$ ו-$\dfrac{8}{12}$ שגויות כי הן מחלקות במקצוע בודד במקום באלכסון הבסיס, ו-$\dfrac{15}{8}$ מתקבל מהיפוך היחס.
$-\frac{1}{2}$ — מצמצמים $690^\circ$ אל $330^\circ$, ולכן $\sin(690^\circ)=-\frac{1}{2}$.