חזקות — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 1 — (2/5)⁻² = (5/2)². חלוקה: (5/2)² ÷ (5/2)² = 1.
2. a²ᵐ — (aᵐ·aⁿ)² = (a^(m+n))² = a^(2m+2n). חלוקה ב-a²ⁿ: a^(2m+2n-2n) = a²ᵐ.
3. x=3 — 64 = 2⁶. 2x = 6, x = 3.
4. 8/27 — (3/2)⁻³ = (2/3)³ = 8/27.
5. 8a³b — (2a²b)³ = 8a⁶b³. (a³b²)⁻¹ = a⁻³b⁻². כפל: 8·a^(6-3)·b^(3-2) = 8a³b.
6. 8 — log₂(x) = 3 פירושו 2³ = x = 8.
7. 1 — 4^(3/2) = 8, 27^(2/3) = 9. (8 + 9)/(8 + 9) = 17/17 = 1.
8. 2¹² — 4³ = 2⁶, 8² = 2⁶. כפל: 2⁶·2⁶ = 2¹².
9. x·y¹⁰ — ראשון: x⁴y⁶. שני: x³y⁶. כפל: x⁷y¹². חלוקה ב-x⁶y²: x·y¹⁰.
10. 1 — log₂(3 · 4 · (1/6)) = log₂(12/6) = log₂(2) = 1.
11. x=6 — 2⁶ = 64, לכן x=6.
12. 24 — 2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ = 2·2ⁿ + 2ⁿ = 3·2ⁿ. עבור n=3: 3·2³ = 3·8 = 24.
13. 4 — (a³)²·a⁻⁴ = a⁶·a⁻⁴ = a². עבור a=2: 2² = 4.
14. x = 5/2 — 4ˣ = (2²)ˣ = 2^(2x) ו-32 = 2⁵. לכן 2x = 5, x = 5/2.
15. 5² < 3³ < 2⁵ — 2⁵ = 32, 5² = 25, 3³ = 27. מהקטן: 25 < 27 < 32, כלומר 5² < 3³ < 2⁵.
16. a⁸/b⁷ — מונה: a⁶b⁻³. מכנה: a⁻²b⁴. a^(6−(−2)) · b^(−3−4) = a⁸ · b⁻⁷ = a⁸/b⁷.
17. ab — √(a²b²) = √(a²) × √(b²) = a × b = ab.
18. 3²·2 — ראשון: 3⁸·2⁴. שני: 3⁻⁶·2⁻³. כפל: 3^(8-6)·2^(4-3) = 3²·2.
19. 64 — 2ˣ = 8 = 2³, כלומר x = 3. 2^(2x) = 2⁶ = 64. חלופית: 2^(2x) = (2ˣ)² = 8² = 64.
20. 12 — √(9×16) = √144 = 12. (גם = √9 × √16 = 3 × 4 = 12)