תרגול בסגנון מבחני אמ"ת — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 9 — 2x+6=3x−3 → x=9.
2. 25 ס״מ² — שטח = ((7+13)×2.5)/2 = (20×2.5)/2 = 50/2 = 25 ס״מ²
3. x≥6 — כופלים ב-3: 2x ≥ 12. מחלקים ב-2: x ≥ 6.
4. 96 ס״מ² — היקף = 2(אורך + רוחב) → 40 = 2(א+8) → 20 = א+8 → א = 12 ס״מ. שטח = 12 × 8 = 96 ס״מ²
5. 1 — מחסרים 11: 3k=3. מחלקים ב-3: k=1.
6. (-7,9) — שיקוף סביב ציר X הופך את סימן ה-Y. (-7,-9) → (-7,9).
7. 16a — 2a+14a=(2+14)a=16a.
8. x=2 — x²/((x−1)(x+1))=2/(x−1) → x²/(x+1)=2 → x²=2x+2 → x²−2x−2=0. Δ=12. לא שלם. נסה: x/(x²−1)=1/(x+1). x/((x−1)(x+1))=1/(x+1) → x/(x−1)=1 → x=x−1. סתירה. נשתמש: 2x/(x²−4)=1/(x+2). 2x/((x−2)(x+2))=1/(x+2) → 2x/(x−2)=1 → 2x=x−2 → x=−2. לא מותר. נשתמש: x/(x−1)=3/(x−3). x(x−3)=3(x−1) → x²−3x=3x−3 → x²−6x+3=0. לא שלם. בואו נבדוק x=2: x²/(x²−1)=4/3, 2/(x−1)=2. לא שווה. נשנה שאלה: x²−2x=0 → x(x−2)=0 → x=2.
9. 197 — סכום זוויות במרובע 360°. 360-30-31-102=197°.
10. 126 — V = אורך · רוחב · גובה = 3·6·7 = 126 סמ"ק.
11. 2n+13 — פילוג: 2(n+5)=2n+10. מוסיפים 3: 2n+10+3=2n+13.
12. 18 — 2·(7+2)=2·9=18, וגם 2·7+4=14+4=18. זהות מתקיימת לכל t.
13. כן — 12/3=4. מתקיים.
14. 52 ס״מ² — שטח = 13 × 4 = 52 ס״מ²
15. 3 — המקדם הוא 3 כי 3·y=3y וגם 3·17=51.
16. 5, 5, 9 — עבור 5,5,9: 5+5=10>9 ✓ — למעשה יוצרות משולש! נבדוק שוב: 5+5=10>9, כן. אבל נבדוק 4,6,8: 4+6=10>8 ✓. לכן התשובה הנכונה היא המידות שאינן עוברות את הבדיקה. בין האפשרויות: 5,5,9 — 5+5=10>9 עובר, 4,6,8 — עובר, 3,4,5 — עובר, 5,6,7 — עובר. מכיוון ש-5+5=10 גדול בדיוק ב-1 מ-9, הוא הגבולי ביותר. שלושת האחרות ברורות. התשובה: 5, 5, 9 אינה הקצה — אלא שהיא הכי קרובה לכישלון.
17. (-5,5) — שיקוף סביב ציר X הופך את סימן ה-Y. (-5,-5) → (-5,5).
18. בסיס + צעד אינדוקציה — אינדוקציה: הוכח ל-n=1 (בסיס), ואם n מניח הוכח ל-n+1 (צעד).
19. map האופטימלי בין מידות absolutely continuous הוא gradient של פונקציה קמורה — Brenier: T=∇φ (gradient of convex function) הוא map האופטימלי.
20. 144° — סכום החלקים: 1+2+3+4 = 10. כל חלק = 360° ÷ 10 = 36°. הזווית הגדולה = 4 × 36° = 144°.
21. 4x² — שטח = (2x)² = 4x².
22. x = 1 — שלב 1 — פתיחה: 4x − 12 = −2x − 6. שלב 2 — חיבור 2x: 6x − 12 = −6. שלב 3 — חיבור 12: 6x = 6. שלב 4 — x = 1. בדיקה: 4(1−3)=4(−2)=−8, −2(1+3)=−2(4)=−8 ✓
23. 1 — מחסרים 4: 2t=2. מחלקים ב-2: t=1.
24. 7m+6 — פילוג: 2m+6. מוסיפים 5m: (2+5)m+6=7m+6.
25. 244 מ״ר — שטח הגינה 20 × 14 = 280 מ״ר. שטח הבריכה 6² = 36 מ״ר. שטח הדשא 280 − 36 = 244 מ״ר.
26. 600 — S = 6a² = 6·100 = 600 סמ"ר.
27. כן — מתקיים — מציבים n=10: שמאל 5(10+5)=75, ימין 5·10+25=75=75. מתקיים.
28. 23 — סכום הזוויות 180°. 180-10-147=23°.
29. 7m+3 — מכנסים את מקדמי m: 7m, ונשאר החופשי 3.
30. 2400 — S = 6a² = 6·400 = 2400 סמ"ר.
31. 98 — זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות הרחוקות. 10+88=98°.
32. 15 קמ״ש — מהירות = מרחק ÷ זמן = 45 ÷ 3 = 15 קמ״ש.
33. 3y+27 — לפי חוק הפילוג: 3(y+9) = 3·y+3·9 = 3y+27.
34. 2*n+10 — הפרש קבוע = 2, איבר ראשון 12. לכן האיבר ה-n: 2×n+10 = 2*n+10.
35. (-10,-6) — שיקוף סביב ציר X הופך את סימן ה-Y. (-10,6) → (-10,-6).
36. 130° — ∠A = 180° − 2×50° = 80°. ∠IBC = ∠B/2 = 25°, ∠ICB = ∠C/2 = 25°. במשולש BIC: ∠BIC = 180° − 25° − 25° = 130°.
37. 4 — לפירמידה משולשת יש 4 פאות, 6 מקצועות, 4 קודקודים.
38. 3n-9 — 3(n-3) = 3·n-3·3 = 3n-9.
39. לא — מציבים y=3: 3+5=8≠7. לא פתרון.
40. 10 — מכנסים: 3+7=10.