תרגול בסגנון מבחני אמ"ת — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 100° — ∠A ו-∠D הן זוויות חד-צדיות על הרגל AD בין המקבילות AB ו-CD, לכן ∠A + ∠D = 180°. (3x+10)+(2x+20)=180. 5x+30=180. 5x=150. x=30. ∠A=3(30)+10=100°. שים לב: ∠D=2(30)+20=80°. בדיקה: 100°+80°=180°. ∠A=100°.
2. 94 — S = 2(ab+bc+ac) = 2(20+15+12) = 94 סמ"ר.
3. 726 — S = 6a² = 6·121 = 726 סמ"ר.
4. 256 — סכום זוויות במרובע 360°. 360-30-30-44=256°.
5. 402 — S = 2(ab+bc+ac) = 2(33+132+36) = 402 סמ"ר.
6. 7.07 סמ — אלכסון פנימי = √(5² + 3² + 4²) = √(25 + 9 + 16) = √50 ≈ 7.07 סמ.
7. 2 — מכפילים ב-2 את שני האגפים: b/2·2=1·2, לכן b=2.
8. אין פתרון — מחסרים 2b משני הצדדים: 2=9 שקרי. אין פתרון.
9. 약 93.3 ק״מ — זמן = 200 ÷ (70 + 80) = 200 ÷ 150 ≈ 1.333 שעות. מרחק מ-א׳ = 70 × 1.333 ≈ 93.3 ק״מ.
10. 50 — הפרש אופקי = 30, אנכי = 40. d = √(30²+40²) = 50.
11. 1596 — שטח פנים = 2·שטח בסיס + היקף·גובה = 2·210 + 84·14 = 420+1176 = 1596 סמ"ר.
12. 600 — S = 6a² = 6·100 = 600 סמ"ר.
13. a√3/2 — h² = a² − (a/2)² = a² − a²/4 = 3a²/4, לכן h = a√3/2.
14. 20/7 — מכפילים ב־6: 2(2x − 1) + 3(x + 2) = 24. פותחים: 4x − 2 + 3x + 6 = 24, כלומר 7x + 4 = 24, ולכן 7x = 20 ו־x = 20/7.
15. 40 ק״מ — דרך = מהירות · זמן: 15 · 2 + 10 · 1 = 30 + 10 = 40 ק״מ.
16. ז.צ.ז — שתי זוויות והצלע ביניהן שוות — לפי משפט החפיפה ז.צ.ז.
17. 14 — נסמן גיל האחות 2k, גיל האח 3k. (3k+5)+(2k+5)=45 → 5k+10=45 → 5k=35 → k=7. גיל האחות: 2·7=14.
18. 4056 — S = 6a² = 6·676 = 4056 סמ"ר.
19. 2t-8 — 2(t-4) = 2·t-2·4 = 2t-8.
20. 2 — מחליפים n ב-1: 3*n-1 = 2.
21. 70° — ראש = 180° − 140° = 40°. בסיס = (180° − 40°) ÷ 2 = 140° ÷ 2 = 70°.
22. 2≤x<5 — מוסיפים 4: 4 ≤ 2x < 10. מחלקים ב-2: 2 ≤ x < 5.
23. קטנה מ-90° — קטנה מ-90°.
24. (4,-9) — סיבוב 90° נגד השעון: (x,y)→(-y,x). התוצאה (4,-9).
25. 8a — 1a+7a=(1+7)a=8a.
26. 4 — לפירמידה משולשת יש 4 פאות, 6 מקצועות, 4 קודקודים.
27. כן — 18/9=2. מתקיים.
28. 65 ש״ח — עלות = 3 · 25 − 10 = 75 − 10 = 65 ש״ח. צריך לפחות 65 ש״ח.
29. 20 — סכום הזוויות 180°. 180-11-149=20°.
30. 6 — ריבית שנתית: 8% × 2,500 = 200 ₪. ריבית נדרשת: 3,700 − 2,500 = 1,200 ₪. שנים: 1,200 ÷ 200 = 6 שנים.
31. 64 — הזוויות הנותרות שוות. (180-52)/2 = 64°.
32. לא נכון, כי מעוין כללי אינו חייב שתהיינה לו זוויות ישרות — מעוין כללי יכול לפי זוויות חדות וקהות — אינו חייב להיות מלבן. רק ריבוע הוא גם מעוין וגם מלבן. מעוין ∩ מלבן = ריבוע.
33. 280 — V = אורך · רוחב · גובה = 2·10·14 = 280 סמ"ק.
34. 1260° — (9−2)·180° = 7·180° = 1260°.
35. 12 — 2*y+2 עם y=5: 12.
36. (10,-6) — סיבוב 180°: (x,y)→(-x,-y). התוצאה (10,-6).
37. 7 — מציבים: 3 + 2 · 2 = 3 + 4 = 7.
38. 13 — מכנסים: 3+10=13.
39. צ.ז.צ — AB=CD (נתון). מ-AB∥CD: ∠ABE=∠CDE (זוויות מסולות בין קווים מקבילים). גם ∠BAE=∠DCE (זוויות מסולות). לחלופין: ∠AEB=∠CED (זוויות קודקוד). כך: AB=CD, ∠ABE=∠CDE (זווית) — אבל הזווית ∠AEB=∠CED כלואה בין AE ו-BE (שעדיין אינן נתונות כשוות). השיטה הנוחה: AB=CD, ∠ABE=∠DCE, ∠BAE=∠CDE → ז.ז.צ. אולם לפי הנתון הפשוט, משתמשים בצ.ז.צ עם AB=CD, ∠AEB=∠CED, AE ו-CE שוות (נובע מקביליות).
40. 121 — זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות הרחוקות. 11+110=121°.