אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 101,568 ₪ — $q=1-0.08=0.92$, ולכן $M=120{,}000\cdot 0.92^2=120{,}000\cdot 0.8464=101{,}568$ ₪. 100,800 מתקבל מפחת ליניארי (פשוט), ו-139,968 מתקבל בטעות עם $q=1.08$ (כיוון הפוך).
2. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
3. $x = 5$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $4x - 6x = -2 - (8)$, כלומר -$2x = -10$. לכן $x = -10/-2 = 5$.
4. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
5. 240 ש"ח — 12 חודשים בנפרד: $12 \cdot 120 = 1440$ ש"ח. החיסכון $= 1440 - 1200 = 240$ ש"ח.
6. $x = 12$ — מכנה משותף $4: 2\frac{x}{4} + \frac{x}{4} = 3\frac{x}{4} = 9 → 3x = 36 → x = 12$.
7. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
8. $x = 2$ או $x = 7$ — $a=1, b=-9, c=14$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (14) = 25$, ו-$\sqrt{25} = 5. x = \frac{9 \pm 5}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 7$.
9. $x = 5$ — נעביר את -8 לאגף ימין: $3x = 7 + 8 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
10. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $4 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 14$, וכן $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 0$.
11. $x \ge 4$ — מחסרים $6$ משני אגפי אי-השוויון: $x + 6 - 6 \ge 10 - 6$, ומקבלים $x \ge 4$. פעולת חיסור אינה משנה את כיוון אי-השוויון, לכן הפתרון הוא כל $x$ גדול או שווה ל-$4$.
12. 138 ש"ח — התוספת $= 15%$ מ-$120 = 18$ ש"ח. המחיר $= 120 + 18 = 138$ ש"ח.
13. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
14. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 8$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
15. $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$ — $a=2, b=1, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-1 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$.
16. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
17. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
18. $x \ge 3$ — $-2x \le -6 → x \ge 3 ($היפוך סימן).
19. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
20. $x = 8$ — נעביר את 6 לאגף ימין: $4x = 38 - 6 = 32$. נחלק ב-$4: x = \frac{32}{4} = 8$.
21. 100,000 ₪ — גורם השינוי הכולל הוא $0.95^2\cdot1.02=0.9025\cdot1.02=0.92055$. לכן $M_0\cdot0.92055=92055$, ומכאן $M_0=92055/0.92055=100{,}000$ ₪.
22. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
23. 3 שעות — הרכבים מתקרבים, לכן המהירות היחסית $= 60 + 40 = 100$ קמ"ש. זמן המפגש $= \frac{300}{100} = 3$ שעות.
24. $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$ — $a=2, b=5, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-5 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$.
25. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
26. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
27. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
28. 3x — $6\frac{x}{2} = 3x$.
29. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
30. 60 ש"ח — ההנחה $= 25%$ מ-$80 = 20$ ש"ח. המחיר $= 80 - 20 = 60$ ש"ח.
31. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
32. $x = 4, y = 1$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 1$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = 3$, וכן $2 \cdot 4 + (1) \cdot 1 = 9$.
33. $x > 3$ — מבודדים את $x$ על ידי הוספת $3$ לשני אגפי אי-השוויון: $x - 3 + 3 > 0 + 3$, ומקבלים $x > 3$. סימן אי-השוויון נשמר כי לא כפלנו ולא חילקנו במספר שלילי.
34. $x \le 5$ — מחלקים את שני האגפים ב-$2$ (מספר חיובי — סימן אי-השוויון נשאר): $\frac{2x}{2} \le \frac{10}{2}$, ומקבלים $x \le 5$.
35. אפשרות א' עדיפה בכ-400 ₪ — אפשרות א': $10000\cdot1.06^5=10000\cdot1.338226\approx13{,}382.3$ ₪. אפשרות ב': קודם שנתיים ב-$9\%$: $10000\cdot1.09^2=11{,}881$ ₪, ואז שלוש שנים ב-$3\%$: $11881\cdot1.03^3\approx11881\cdot1.092727\approx12{,}982.7$ ₪. ההפרש: $13{,}382.3-12{,}982.7\approx400$ ₪ לטובת אפשרות א'.