אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$ — $a=3, b=-10, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (3) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{10 \pm 8}{6}$, ולכן $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$.
2. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
3. $x = -4$ — נעביר את 9 לאגף ימין: $2x = 1 - 9 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
4. 14 — $x = 2 \cdot 5 + 4 = 14$.
5. $x = 3, y = 5$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 3, y = 5$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 5 = 11$, וכן $1 \cdot 3 + (2) \cdot 5 = 13$.
6. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
7. 4(x + 2) — גורם משותף 4: 4(x + 2).
8. $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$ — $a=2, b=-7, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (3) = 25, \sqrt{25} = 5. x = \frac{7 \pm 5}{4}$, ולכן $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$.
9. (x - 3)(x - 4) — מכפלה 12 וסכום -7: -3 ו-4-.
10. חיסכון C גדול מחיסכון D בכ-544 ₪ — $C_8=6000\cdot1.1^8=6000\cdot2.143589\approx12{,}861.5$ ₪. $D_8=9000\cdot1.04^8=9000\cdot1.368569\approx12{,}317.1$ ₪. ההפרש: $12{,}861.5-12{,}317.1\approx544$ ₪, כך שחיסכון C גדול יותר, למרות שהתחיל עם סכום נמוך יותר, בזכות הריבית הגבוהה יותר.
11. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
12. 5 — $8000\cdot1.1^4=8000\cdot1.4641\approx11{,}712.8$ ₪ — עדיין פחות מ-$12{,}000$. $8000\cdot1.1^5=8000\cdot1.61051\approx12{,}884.1$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=5$.
13. $x = 5, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 9$, וכן $3 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 19$.
14. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
15. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (1) \cdot 4 = 8$, וכן $4 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 12$.
16. x < 4 — נחסר 5: x < 4.
17. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
18. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
19. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
20. 7 — $12000\cdot1.06^6=12000\cdot1.418519\approx17{,}022.2$ ₪ — עדיין פחות מ-$18{,}000$. $12000\cdot1.06^7=12000\cdot1.503630\approx18{,}043.6$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=7$.
21. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
22. 6 — $25000\cdot1.03^5=25000\cdot1.159274\approx28{,}981.9$ ₪ — עדיין פחות מ-$29{,}000$ (בהפרש קטן!). $25000\cdot1.03^6=25000\cdot1.194052\approx29{,}851.3$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=6$.
23. אפשרות א' עדיפה בכ-400 ₪ — אפשרות א': $10000\cdot1.06^5=10000\cdot1.338226\approx13{,}382.3$ ₪. אפשרות ב': קודם שנתיים ב-$9\%$: $10000\cdot1.09^2=11{,}881$ ₪, ואז שלוש שנים ב-$3\%$: $11881\cdot1.03^3\approx11881\cdot1.092727\approx12{,}982.7$ ₪. ההפרש: $13{,}382.3-12{,}982.7\approx400$ ₪ לטובת אפשרות א'.
24. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
25. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
26. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
27. $x = 6$ — מכנה משותף $3: 3\frac{x}{3} - \frac{x}{3} = 2\frac{x}{3} = 4 → 2x = 12 → x = 6$.
28. ירידה של 7% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1-r$ כאשר $r$ הוא אחוז הירידה. $q=0.93=1-0.07$, כלומר בכל שנה נשארים $93\%$ מהערך של השנה הקודמת — ירידה של $7\%$ ביחס לשנה שקדמה, ולא ביחס לערך ההתחלתי.
29. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
30. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
31. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
32. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
33. 27,040 ₪ — המודל: $M=M_0\cdot q^t$ כאשר $q=1.04$. לכן $M=25{,}000\cdot 1.04^2=25{,}000\cdot 1.0816=27{,}040$ ₪. הטעות ב-27,000 היא חישוב ריבית פשוטה ($25{,}000+25{,}000\cdot0.04\cdot2$) במקום דריבית.
34. 2x — $8\frac{x}{4} = 2x$.
35. אף פתרון — $x^{2} = -4$, אך אין מספר ממשי שריבועו שלילי. דיסקרימיננטה $= 0 - 16 = -16 < 0$, לכן אין פתרון.