אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
2. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
3. 2a + 6b — $3a - a + 2b + 4b = 2a + 6b$.
4. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 8$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
5. x < 4 — נחסר 5: x < 4.
6. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.
7. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
8. 18 ו-12 — $x + y = 30, x - y = 6$. נחבר: $2x = 36, x = 18$, ואז $y = 12$.
9. $x = 5$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $4x - 6x = -2 - (8)$, כלומר -$2x = -10$. לכן $x = -10/-2 = 5$.
10. 240 ש"ח — 12 חודשים בנפרד: $12 \cdot 120 = 1440$ ש"ח. החיסכון $= 1440 - 1200 = 240$ ש"ח.
11. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
12. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
13. כן, יהיה בקופה כ-67,005 ₪, יותר מהמחיר הדרוש — לפי נוסחת הריבית דריבית: $50000\cdot1.05^6=50000\cdot1.340096\approx67{,}004.8$ ₪. סכום זה גדול מ-$65{,}000$ ₪, ולכן הסכום יספיק, ואף יישאר עודף של כ-$2{,}005$ ₪.
14. $x = -5$ או $x = -2$ — $a=1, b=7, c=10$. דיסקרימיננטה $= (7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (10) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{-7 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = -2$.
15. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
16. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
17. 20% בשנה — גורם השינוי הכולל הוא $1-0.36=0.64$. אם $q$ הוא גורם השינוי השנתי, אז $q^2=0.64$, ומכאן $q=0.8$, כלומר ירידה של $20\%$ בשנה. בדיקה: $0.8^2=0.64$, בדיוק ירידה כוללת של $36\%$.
18. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
19. 6 — מספר המבקרים: $A_t=10000\cdot1.08^t$, $B_t=20000\cdot0.95^t$. עבור $t=5$: $A_5\approx14{,}693.3$, $B_5\approx15{,}475.6$ — עדיין $A<B$. עבור $t=6$: $A_6=10000\cdot1.586874\approx15{,}868.7$, $B_6=20000\cdot0.735092\approx14{,}701.8$ — כעת $A\ge B$. לכן התשובה היא $t=6$.
20. 71,461 ₪ — $M=60{,}000\cdot 1.06^3=60{,}000\cdot 1.191016\approx 71{,}461$ ₪. 70,800 הוא חישוב ריבית פשוטה, 67,416 מתקבל מהעלאה בחזקת $2$ בלבד, ו-49,835 מתקבל בטעות עם $q=0.94$.
21. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
22. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
23. $x = 2$ או $x = 7$ — $a=1, b=-9, c=14$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (14) = 25$, ו-$\sqrt{25} = 5. x = \frac{9 \pm 5}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 7$.
24. 10% בשנה — גורם השינוי הכולל הוא $1+0.21=1.21$. אם $q$ הוא גורם השינוי השנתי, אז $q^2=1.21$, ומכאן $q=1.1$, כלומר עלייה של $10\%$ בשנה. בדיקה: $1.1^2=1.21$, בדיוק עלייה כוללת של $21\%$.
25. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
26. $x = -4$ — נעביר את 9 לאגף ימין: $2x = 1 - 9 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
27. ירידה של 4% בשנה (q=0.96) — $q^2=\dfrac{138{,}240}{150{,}000}=0.9216$, ולכן $q=\sqrt{0.9216}=0.96$ — ירידה שנתית של $4\%$. הטעות $7.84\%$ מתקבלת מהתייחסות לירידה הכוללת של שתי השנים כאל ירידה שנתית ישירה.
28. 28 — $\frac{x}{4} + 5 = 12 → \frac{x}{4} = 7 → x = 28$.
29. $x = 4$ — נעביר את 7 לאגף ימין: $10x = 47 - 7 = 40$. נחלק ב-$10: x = \frac{40}{10} = 4$.
30. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 12 - (3)$, כלומר $3x = 9$. לכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
31. (x - 3)(x - 4) — מכפלה 12 וסכום -7: -3 ו-4-.
32. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
33. $x = -2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-6, c=-16$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (-16) = 100, \sqrt{100} = 10. x = \frac{6 \pm 10}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 8$.
34. $x = 4$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 4x = 18 - (6)$, כלומר $3x = 12$. לכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
35. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.