אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $4$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{20}+\frac{1}{5}=\frac{1}{4}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $4$ שעות.
2. $25\%$ — השינוי הוא $|90-120| = 30$ מתוך הבסיס $120$: $\frac{30}{120} \cdot 100\% = 25\%$.
3. $150$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 100 \cdot 1.5 = 150$ ק"מ.
4. $24$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=72$, ולכן $x=24$.
5. $x=-5$ — $7x = -41 - (-6) = -35$, ולכן $x=\frac{-35}{7}=-5$.
6. $16$ — $5\% \cdot 320 = \frac{5}{100} \cdot 320 = 16$.
7. הפתרון האופטימלי מתקבל תמיד באחד מקודקודי תחום הפתרונות האפשרי — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שכאשר פונקציית המטרה ליניארית והתחום קמור וחסום, הערך המקסימלי (או המינימלי) מתקבל תמיד באחד מקודקודי התחום — לא בפנים התחום ולא בהכרח באמצעו. תחום הפתרונות האפשרי נקבע על ידי האילוצים בלבד, ואינו תלוי במקדמי פונקציית המטרה.
8. $25\%$ — $\frac{18}{72} \cdot 100\% = 25\%$.
9. $20\%$ — $\frac{70}{350} \cdot 100\% = 20\%$.
10. $x=-4$ — $5x = -24 - (-4) = -20$, ולכן $x=\frac{-20}{5}=-4$.
11. $\\$1996.5$ — $K(1+p)^n = 1500 \cdot (1+0.1)^{3} = 1500 \cdot 1.331 = 1996.5$.
12. $(10,4)$ — עבור $(10,4)$: $4x+5y=60\le60$, $x=10\le12$, $y=4\ge x-6=4$ - כל האילוצים מתקיימים (בגבול). עבור $(13,1)$: $x=13>12$. עבור $(10,2)$: $y=2<x-6=4$. עבור $(2,11)$: $4x+5y=63>60$.
13. $30$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=90$, ולכן $x=30$.
14. $x=-5$ — $3x = -19 - (-4) = -15$, ולכן $x=\frac{-15}{3}=-5$.
15. $x=-1$ — $7x = -3 - (4) = -7$, ולכן $x=\frac{-7}{7}=-1$.
16. $\\$81000$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 100000 \cdot (1-0.1)^{2} = 100000\cdot0.81 = 81000$.
17. $x=5$ — $5x = 27 - (2) = 25$, ולכן $x = \frac{25}{5} = 5$.
18. $x=4,\ y=3$ — הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x=4,\ y=3$. הצבה: $3\cdot4+2\cdot3=18=18$ וגם $1\cdot4+1\cdot3=7=7$.
19. $x=3,\ y=4$ — הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x=3,\ y=4$. הצבה: $1\cdot3+2\cdot4=11=11$ וגם $3\cdot3+1\cdot4=13=13$.
20. $(4,4)$ — עבור $(4,4)$: $3x+2y=20\le24$ ו-$x+2y=12\le16$ - שני האילוצים מתקיימים. עבור $(6,4)$: $3x+2y=26>24$. עבור $(2,8)$: $x+2y=18>16$. עבור $(0,9)$: $x+2y=18>16$.
21. $20\%$ — השינוי הוא $|60-50| = 10$ מתוך הבסיס $50$: $\frac{10}{50} \cdot 100\% = 20\%$.
22. $3$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $3$ שעות.
23. ירידה של $4\%$ — $1.2 \times 0.8 = 0.96$, כלומר ירידה כוללת של $4\%$.
24. $33$ — $55\%\cdot60=0.55\cdot60=33$.
25. $x=1$ — $7x = 13 - (6) = 7$, ולכן $x=\frac{7}{7}=1$.
26. $x=1$ — $4x = 0 - (-4) = 4$, ולכן $x=\frac{4}{4}=1$.
27. $25\%$ — $\frac{9}{36} \cdot 100\% = 25\%$.
28. $270$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 45 \cdot 6 = 270$ ק"מ.
29. $(6,3)$ — עבור $(6,3)$: $x+3y=15\le21$, $5x+2y=36\le40$, $y=3\le x+4=10$ - כל האילוצים מתקיימים. עבור $(2,7)$: $x+3y=23>21$. עבור $(7,5)$: $5x+2y=45>40$. עבור $(0,9)$: $y=9>x+4=4$.
30. $x=-4$ — $2x = -9 - (-1) = -8$, ולכן $x=\frac{-8}{2}=-4$.
31. $\\$6200$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 5000 + 5000\cdot0.06\cdot4 = 6200$.
32. $11$ — $44\%\cdot25=0.44\cdot25=11$.
33. $99$ — $110\% \cdot 90 = \frac{110}{100} \cdot 90 = 99$.
34. $\\$5$ — מחיר העפרונות: $3\cdot2=6$. נותרו $16-6=10$ עבור $2$ מחברות, ולכן מחברת עולה $\frac{10}{2}=5$.
35. $x=4$ — $3x = 13 - (1) = 12$, ולכן $x=\frac{12}{3}=4$.