אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(8,0)$ — עם הפונקציה החדשה $Z=5x+y$: $(0,0)\to0$; $(0,5)\to5$; $(6,3)\to30+3=33$; $(8,0)\to40+0=40$. המקסימום החדש, $40$, מתקבל בקודקוד $(8,0)$. הגדלת המקדם של $x$ (מ-$2$ ל-$5$) והקטנת המקדם של $y$ (מ-$3$ ל-$1$) הזיזו את הנקודה האופטימלית לקודקוד עם ה-$x$ הגדול ביותר.
2. $(4,6)$ — עבור $(4,6)$: $5x+3y=38\le45$, $x+y=10\le11$, $x=4\ge2$ - כל האילוצים מתקיימים. עבור $(1,8)$: $x=1<2$. עבור $(7,5)$: $5x+3y=50>45$. עבור $(4,8)$: $x+y=12>11$.
3. $x=-1$ — $3x = 2 - (5) = -3$, ולכן $x = \frac{-3}{3} = -1$.
4. $30$ — $15\%\cdot200=0.15\cdot200=30$.
5. $(8,6)$ — מהמשוואה הראשונה: $x=20-2y$. הצבה במשוואה השנייה: $3(20-2y)+y=30$, כלומר $60-6y+y=30$, ולכן $-5y=-30$, כלומר $y=6$. לכן $x=20-12=8$. הקודקוד הוא $(8,6)$.
6. $Z=200x+350y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים מכל סוג טיול: $200$ ₪ כפול מספר טיולי המיניבוס ($x$) ועוד $350$ ₪ כפול מספר טיולי האוטובוס ($y$). לכן $Z=200x+350y$.
7. לא נכונה — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שהמקסימום מתקבל דווקא בקודקוד — כאשר פונקציית המטרה ליניארית, ערכה בכל נקודה פנימית בתחום קמור נמוך או שווה לערכה בקודקוד הטוב ביותר — לעולם לא גבוה יותר. לכן הטענה של המנהל אינה נכונה: אין טעם לחפש פתרון אופטימלי בתוך התחום.
8. $x=5$ — $3x = 20 - (5) = 15$, ולכן $x=\frac{15}{3}=5$.
9. $x=-1$ — $5x = -3 - (2) = -5$, ולכן $x=\frac{-5}{5}=-1$.
10. $x=-5$ — $5x = -20 - (5) = -25$, ולכן $x=\frac{-25}{5}=-5$.
11. $x=-1$ — $4x = -10 - (-6) = -4$, ולכן $x=\frac{-4}{4}=-1$.
12. $25\%$ — השינוי הוא $|50-40| = 10$ מתוך הבסיס $40$: $\frac{10}{40} \cdot 100\% = 25\%$.
13. $\\$57800$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 80000 \cdot (1-0.15)^{2} = 80000\cdot0.7225 = 57800$.
14. $\\$100$ — $80 = 0.8 \cdot x$, ולכן $x = \frac{80}{0.8} = 100$.
15. בקודקוד $(9,1)$, כאשר $Z=37$ — מציבים בכל קודקוד: $(1,1)\to4+1=5$; $(1,8)\to4+8=12$; $(6,10)\to24+10=34$; $(9,1)\to36+1=37$. המקסימום, $37$, מתקבל בקודקוד $(9,1)$, למרות ש-$y$ שם קטן — כי המקדם של $x$ גדול משמעותית.
16. $x=-2$ — $7x = -14 - (0) = -14$, ולכן $x=\frac{-14}{7}=-2$.
17. $x=-3$ — $2x = -9 - (-3) = -6$, ולכן $x=\frac{-6}{2}=-3$.
18. $x=3$ — $7x = 22 - (1) = 21$, ולכן $x=\frac{21}{7}=3$.
19. $20$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=60$, ולכן $x=20$.
20. $x=3$ — $6x = 18 - (0) = 18$, ולכן $x=\frac{18}{6}=3$.
21. $Z=7x+5y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $7$ ₪ כפול מספר הגביעים ($x$) ועוד $5$ ₪ כפול מספר הקונוסים ($y$). לכן $Z=7x+5y$.
22. ללא שינוי — $1.25 \times 0.8 = 1$, כלומר אין שינוי כולל.
23. $x=5$ — $5x = 27 - (2) = 25$, ולכן $x = \frac{25}{5} = 5$.
24. $x=2$ — $2x = 10 - (6) = 4$, ולכן $x = \frac{4}{2} = 2$.
25. $x=-4$ — $3x = -12 - (0) = -12$, ולכן $x=\frac{-12}{3}=-4$.
26. $20x+15y \le 900$ וגם $30x+20y \le 960$ — עלות: $20$₪ לשוקולד ו-$15$₪ לוניל, לא יותר מ-$900$₪: $20x+15y\le900$. זמן: $30$ דק' לשוקולד ו-$20$ דק' לוניל, לא יותר מ-$960$ דק': $30x+20y\le960$.
27. $25\%$ — השינוי הוא $|60-80| = 20$ מתוך הבסיס $80$: $\frac{20}{80} \cdot 100\% = 25\%$.
28. $1250$ — גדילה מעריכית: $K(1+p)^n = 800\cdot(1+0.25)^{2} = 800\cdot1.5625 = 1250$.
29. בקודקוד $(2,3)$, כאשר $Z=12$ — מציבים בכל קודקוד: $(2,3)\to3\cdot2+2\cdot3=6+6=12$; $(2,9)\to6+18=24$; $(7,6)\to21+12=33$; $(10,2)\to30+4=34$. העלות המינימלית, $12$, מתקבלת בקודקוד $(2,3)$.
30. $8x+12y \le 480$, $x+y \le 50$ וגם $y \ge 5$ — משקל: $8x+12y\le480$. מקום: $x+y\le50$. דרישה מזערית לספרים: $y\ge5$. שלושת האילוצים יחד מתארים את המצב.
31. $\\$1620$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 1500 + 1500\cdot0.08\cdot1 = 1620$.
32. $30\%$ — כמות החומר: $10\cdot0.2+10\cdot0.4=6$ ליטר מתוך $20$ ליטר. הריכוז: $\frac{6}{20}\cdot100\%=30\%$.
33. $x=-2$ — $5x = -6 - (4) = -10$, ולכן $x=\frac{-10}{5}=-2$.
34. $x=2$ — $6x = 13 - (1) = 12$, ולכן $x = \frac{12}{6} = 2$.
35. $24$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=72$, ולכן $x=24$.