פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
2. $(-1, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + 6 = 5$. הקודקוד: $(-1, 5)$.
3. $(3, 0)$ — נציב $x = 3: y = 1 \cdot (3) + -3 = 0$. לכן הנקודה $(3, 0)$ נמצאת על הישר.
4. x < 2 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 2$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 2.
5. את נקודת הבעיטה ואת נקודת הנחיתה של הכדור — נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ הן הנקודות שבהן $f(x)=0$, כלומר גובה הכדור הוא 0 — כלומר הכדור נמצא על גובה הקרקע. $x=0$ מייצג את רגע הבעיטה (תחילת התנועה, כשהכדור עדיין על הקרקע), ו-$x=6$ מייצג את הרגע שבו הכדור חוזר לגעת בקרקע, כלומר נקודת הנחיתה.
6. x>4 — מכיוון ש-$a=0.5>0$ הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד ב-$x=-\dfrac{-4}{2\cdot0.5}=4$. בפרבולה כזו הפונקציה יורדת עד הקודקוד ועולה אחריו, כלומר עבור $x>4$.
7. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
8. $(-4, -16)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-4)^{2} + 8 \cdot (-4) + 0 = -16$. הקודקוד: $(-4, -16)$.
9. $y = -3x + 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -2}{3 - 2} = -3$. נציב נקודה: $b = -2 - (-3)(2) = 4$. המשוואה: $y = -3x + 4$.
10. 40 אלף ₪ — מציבים $x=3$: $P(3)=-2\cdot3^2+16\cdot3+10=-2\cdot9+48+10=-18+48+10=40$.
11. −3 — נציב $x = -1: f(-1) = -2 \cdot (-1)^{2} + 1 \cdot (-1) + 0 = -2 + -1 + 0 = -3$.
12. 30 אלף ₪ — ערך ה-x של הקודקוד: $x=-\dfrac{10}{2\cdot(-1)}=5$. הרווח המקסימלי: $P(5)=-5^2+10\cdot5+5=-25+50+5=30$.
13. $y = -6x - 7$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -1}{-2 - -1} = -6$. נציב נקודה: $b = -1 - (-6)(-1) = -7$. המשוואה: $y = -6x - 7$.
14. $(0, 6)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -1 \cdot 0 + 6 = 6$. הנקודה היא $(0, 6)$.
15. −6 — נציב $x = -2: f(-2) = -2 \cdot (-2)^{2} + 1 \cdot (-2) + 4 = -8 + -2 + 4 = -6$.
16. $(-2, 3)$ — משווים: $-1x + 1 = 1x + 5$. מכאן $-2x = 4$, אז $x = -2$. נציב: $y = -1 \cdot (-2) + 1 = 3$. נקודת החיתוך: $(-2, 3)$.
17. $(0, 6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 6 = 6$. הקודקוד: $(0, 6)$.
18. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
19. x < −1 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -1$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −1.
20. $(2, 2)$ — נציב $x = 2: y = 3 \cdot (2) + -4 = 2$. לכן הנקודה $(2, 2)$ נמצאת על הישר.
21. $(6, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 2x + -12$, ומכאן $x = 6$. הנקודה היא $(6, 0)$.
22. 6 — מציבים $f(x)=12$: $-x^2+6x+7=12$, כלומר $-x^2+6x-5=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-6x+5=0$, ומפרקים: $(x-1)(x-5)=0$, ולכן $x=1$ או $x=5$. שני הערכים חיוביים והגיוניים (תחום התנועה של החץ הוא בין $x=0$ ל-$x=7$, נקודת הנחיתה). סכום שני המרחקים: $1+5=6$.
23. $(-4, -11)$ — משווים: $2x + -3 = 3x + 1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = 2 \cdot (-4) + -3 = -11$. נקודת החיתוך: $(-4, -11)$.
24. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 1 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + 0 = 1 + 3 + 0 = 4$.
25. $x = -6 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 36 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 6)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 6$.
26. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + -6$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
27. $(0, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -4 \cdot 0 + 0 = 0$. הנקודה היא $(0, 0)$.
28. 32 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -16/(2 \cdot (-2)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 32$ מטר.
29. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
30. $(1, -8)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (1)^{2} + -4 \cdot (1) + -6 = -8$. הקודקוד: $(1, -8)$.
31. $(-4, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 12$, ומכאן $x = -4$. הנקודה היא $(-4, 0)$.
32. $(-3, -13)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-3)^{2} + 6 \cdot (-3) + -4 = -13$. הקודקוד: $(-3, -13)$.
33. הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק קטן יותר מהכדור לפי $g$ — מרחק המקסימום מתקבל מנוסחת שיעור ה-$x$ של קודקוד הפרבולה $x=-\frac{b}{2a}$. עבור $f$: $a=-2,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. עבור $g$: $a=-1,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4$. מכיוון ש-$2<4$, הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק אופקי קטן יותר. (בנוסף, $f(2)=11$ בעוד $g(4)=19$, כך שהגובה המקסימלי של $f$ דווקא קטן יותר — כך שהטענה השלישית שגויה.)
34. $x = -1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
35. $(2, 2)$ — משווים: $1x + 0 = -1x + 4$. מכאן $2x = 4$, אז $x = 2$. נציב: $y = 1 \cdot (2) + 0 = 2$. נקודת החיתוך: $(2, 2)$.