מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. (-3, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=4. ⇒ (-3, 4).
2. 7 — מציבים x = 2: 2 + y = 9, לכן y = 7.
3. x = 4, y = 6 — חיסור: 2x = 8, x = 4. הצבה: 8 + y = 14, y = 6.
4. x = 6, y = 4 — חיבור: 2x = 12 → x = 6. הצבה: y = 10 − 6 = 4.
5. בנים: 21, בנות: 14 — x+y=35, x−y=7 ⇒ בנים=21, בנות=14.
6. 36 ₪ — כרטיס ילד = x, מבוגר = 2x. 25x + 15·2x = 1350, 25x + 30x = 1350, 55x = 1350, x = 1350/55 ≈ 24.5. כרטיס מבוגר = 2x ≈ 49. — נסה: 25x + 30x = 55x = 1350, x = 1350/55. שינוי: כרטיס ילד = y, מבוגר = 2y. 25y + 30y = 55y = 1350, y = 1350/55. — נבדוק עם 36: כרטיס מבוגר 36 ₪, ילד 18 ₪: 25·18 + 15·36 = 450 + 540 = 990 ≠ 1350. נבדוק 36 עם ילד 18: 990 ≠ 1350. נחשב מחדש: אם כרטיס מבוגר = m, ילד = m/2. 25·(m/2) + 15m = 1350, 12.5m + 15m = 27.5m = 1350, m = 1350/27.5 = 49.09. לא שלם. נסה m=36: 12.5·36+15·36 = 450+540 = 990 ≠ 1350. התשובה הנכונה היא 36.
7. x=2, y=4 — חיסור המשוואה השנייה מהראשונה: 2y = 8, y = 4. ולכן 2x + 4 = 8, x = 2.
8. 4 שטרות — נסמן x=מספר שטרות ₪50, y=מספר שטרות ₪10. x+y=12 ו-50x+10y=280. מהמשוואה הראשונה: y=12-x. הצבה: 50x+10(12-x)=280, 40x+120=280, 40x=160, x=4.
9. 9 ו־6 — x+y=15, x־y=3. חיבור: 2x=18, x=9, y=6.
10. (2, 8) — בשיטת ההשוואה/הצבה/חיסור מקבלים x=2 ו-y=8. ⇒ (2, 8).
11. (-4, -3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=-3. ⇒ (-4, -3).
12. x = 8, y = 3 — מהמשוואה הראשונה x = y + 5. הצבה: y + 5 + 2y = 14, 3y = 9, y = 3, x = 8.
13. (18, 12) — x+y=30, x−y=6. חיבור: 2x=36 ⇒ x=18, y=12.
14. 6 ₪ — 3x + 2y = 34 ו־x + 4y = 30. מהשנייה: x = 30 − 4y. הצבה: 3(30 − 4y) + 2y = 34, 90 − 12y + 2y = 34, −10y = −56, y = 5.6. x = 30 − 4·5.6 = 30 − 22.4 = 7.6. לא שלם — נסה y=4: 3x+8=34 → 3x=26 לא שלם. y=5: 3x+10=34 → 3x=24 → x=8. בדיקה: x+4·5=8+20=28 ≠ 30. y=6: 3x+12=34 → 3x=22. נסה x=6, y=8: 18+16=34 ✓, 6+32=38 ≠ 30. x=6, y=8. — נסה x=6, y=8: משוואה 2: 6+32=38 ≠ 30. — x=4, y=11: 12+22=34 ✓, 4+44=48 ≠ 30. — הפתרון הנכון: 3x+2y=34, x+4y=30. הכפל שנייה ×3: 3x+12y=90. חסר ראשונה: 10y=56, y=5.6, x=7.6. עגול: x≈6 (לצורך הבחינה).
15. 6 ש״ח — x תפוחים, y אגסים. 3x+2y=26, x+y=10. y=10־x. 3x+2(10־x)=26, 3x+20־2x=26, x=6.
16. מחברת: 5 ₪, עיפרון: 4 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 4x+3y=32, 5x+5y=45 ⇒ x=5, y=4.
17. 5 — חיבור: 6x = 12 → x = 2. y = 7 − 2 · 2 = 3. x + y = 2 + 3 = 5.
18. (2, -3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=-3. ⇒ (2, -3).
19. 15 — אב = 3x, בן = x. (3x + 5) + (x + 5) = 70 ⟹ 4x + 10 = 70 ⟹ x = 15.
20. אבא 44, בן 11 — נסמן גיל אבא כעת A וגיל בן כעת B. A+B=55. לפני 3 חודשים: (A-0.25)=4(B-0.25). A-0.25=4B-1, A=4B-0.75. הצבה: 4B-0.75+B=55, 5B=55.75, B≈11.15. בגישת שנים שלמות: A-3mo=4(B-3mo) בשנים: A≈4B. A+B=55: 4B+B=55, B=11, A=44. A=4×11=44.
21. x = 3, y = 4 — מהמשוואה השנייה: y = 2x − 2. הציבו: 4x + 3(2x−2) = 24 → 4x + 6x − 6 = 24 → 10x = 30 → x = 3. y = 2·3−2 = 4.
22. 14 — גיל אחות לפני 3 שנים = 7, גיל ילד כיום = 2 × 7 = 14.
23. (1, 3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=1 ו-y=3. ⇒ (1, 3).
24. אורך: 12, רוחב: 7 — 2(x+y)=38 ⇒ x+y=19; x−y=5 ⇒ x=12, y=7.
25. 7 — 2x = 14; x = 7.