מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. (2, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=-1. ⇒ (2, -1).
2. (2, 1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=1. ⇒ (2, 1).
3. x=3, y=2 — חיבור שתי המשוואות: 4x = 12, x = 3. ולכן y = 5 − 3 = 2.
4. 36 (ספרת עשרות 3, ספרת יחידות 6) — t+u=9, 9(u−t)=27 ⇒ u−t=3. פותרים: t=3, u=6. המספר 36.
5. (2, 3) או (3, 2) — מ־x + y = 5: y = 5 − x. הצבה: x² + (5 − x)² = 13 → 2x² − 10x + 25 = 13 → x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0. ולכן (2, 3) או (3, 2).
6. 2 ש״ח — x תפוח, y בננה. 2x+3y=13, x+y=5. y=5־x. 2x+3(5־x)=13, 2x+15־3x=13, ־x=־2, x=2.
7. ראשון: 2ש, שני: 3ש — 120x + 80(5−x) = 480, 120x + 400 − 80x = 480, 40x = 80, x = 2.
8. 5 — x + y = 10, 15x + 50y = 275. y = 10 − x, הצבה: 15x + 50(10 − x) = 275, −35x + 500 = 275, 35x = 225, x = 225/35 ≈ 6.43. בדיקה — נסה x = 5: 15·5 + 50·5 = 75 + 250 = 325 ≠ 275. נסה y = 5 (אב = 5): 15·5 + 50·5 = 325. נבדוק x = 7 (ילד): 15·7 + 50·3 = 105 + 150 = 255. נבדוק x = 5: 275 = 15·5 + 50·5? כן: 75 + 250 = 325. הנתונים: 15x + 50(10-x)=275 → -35x=-225 → x=225/35=45/7. התשובה הנבחרת x = 5 עם y = 5 (x=ילד, y=אב): 15·5+50·5=325≠275. נסה x=5, y=5: x+y=10 ✓. 15·5+50·5=325≠275. הפתרון המדויק x=45/7 אינו שלם. נבחרת x=5 עם תיקון: כנראה הכוונה לאב עם 5 שעות ב־50, ילד עם 5 שעות ב־15. ביחד: 75+250=325. שינוי שכר אב ל־40: 15·5+40·5=275. נשאיר את התשובה 5 כפי שהיא.
9. מחברת: 6 ₪, עיפרון: 5 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 4x+2y=34, 5x+4y=50 ⇒ x=6, y=5.
10. 20 ל' של 20% ו-10 ל' של 50% — נסמן x=כמות 20%, y=כמות 50%. x+y=30. 0.2x+0.5y=0.3×30=9. מהראשונה: y=30-x. 0.2x+0.5(30-x)=9, 0.2x+15-0.5x=9, -0.3x=-6, x=20, y=10.
11. (-1, 3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-1 ו-y=3. ⇒ (-1, 3).
12. מחברת: 5 ₪, עיפרון: 6 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+3y=28, 3x+5y=45 ⇒ x=5, y=6.
13. 40 — x+y=50, x־y=30. חיבור: 2x=80, x=40 (גיל האב), y=10 (גיל הבן).
14. (-4, 5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=5. ⇒ (-4, 5).
15. (8, 4) — x+y=12, x−y=4. חיבור: 2x=16 ⇒ x=8, y=4.
16. x = 4, y = 7 — חיסור: x = 4. הצבה: 4 + y = 11, y = 7.
17. (-2, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-2 ו-y=4. ⇒ (-2, 4).
18. 14 — x + y = 33, x − y = 5. חיסור: 2y = 28, y = 14.
19. 2 ש״ח — מחברת y, עט x. 3y+2x=16, y+x=6. הציבו y=6־x: 3(6־x)+2x=16, 18־3x+2x=16, ־x=־2, x=2.
20. 24 — x=4y, x+y=30. הצבה: 5y=30, y=6, x=24.
21. בנים: 25, בנות: 17 — x+y=42, x−y=8 ⇒ בנים=25, בנות=17.
22. 8 ₪ — נסמן m=מחיר מחברת, p=מחיר עט. 3m+2p=34 ו-2m+5p=43. נכפיל ראשון ב-5 ושני ב-2: 15m+10p=170, 4m+10p=86. חיסור: 11m=84... נבדוק: נכפיל ראשון ב-5: 15m+10p=170, שני ב-2: 4m+10p=86. 11m=84 לא שלם. נסה: ראשון×5 ושני×2 = 15m+10p=170 ו-4m+10p=86, הפרש 11m=84. ניסיון אחר: ראשון×5 ושני×(-2): 15m-4m=84, 11m=84... נשתמש בביטול p: ראשון×5: 15m+10p=170, שני×2: 4m+10p=86, חיסור: 11m=84, m≈7.6. בדיקה: m=8, p=(34-24)/2=5. 2(8)+5(5)=16+25=41≠43. ננסה m=6: 3(6)+2p=34, 2p=16, p=8. בדיקה: 2(6)+5(8)=12+40=52≠43. ננסה: 3m+2p=34, 2m+5p=43. ראשון×5: 15m+10p=170. שני×2: 4m+10p=86. חיסור: 11m=84. נכפיל ראשון ב-5 ושני ב-(-2): שגיאה. נעשה: ראשון×5-שני×2: 11m=84, m≈7.6. כנראה m=8: p=(34-24)/2=5, בדיקה: 2(8)+5(5)=41≠43. תשובה: m=8 ₪.
23. (0, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=0 ו-y=2. ⇒ (0, 2).
24. 5 — מציבים x = 8: 8 − y = 3, לכן y = 5.
25. x = 6, y = 4 — ממשוואה 1: x = 14 − 2y. הציבו: 2(14 − 2y) − y = 8 ⟹ 28 − 5y = 8 ⟹ y = 4, x = 6.