מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. מחברת: 9 ₪, עיפרון: 2 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 3x+4y=35, 4x+6y=48 ⇒ x=9, y=2.
2. (10, 6) — x+y=16, x−y=4. חיבור: 2x=20 ⇒ x=10, y=6.
3. (2, 3) או (3, 2) — מ־x + y = 5: y = 5 − x. הצבה: x² + (5 − x)² = 13 → 2x² − 10x + 25 = 13 → x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0. ולכן (2, 3) או (3, 2).
4. 50/3 ≈ 16.7 — x + y = 50 ו־x = 2y. הצבה: 2y + y = 50, 3y = 50, y = 50/3 ≈ 16.7.
5. 8 ו-12 — x + (x + 4) = 20, 2x = 16, x = 8. אח קטן 8, גדול 12.
6. אב: 38, בן: 8 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=46, x−y=30. ⇒ x=38, y=8.
7. 4 — x+y=12, x=2y. הצבה: 2y+y=12, 3y=12, y=4.
8. (4, -5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-5. ⇒ (4, -5).
9. (-1, 6) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-1 ו-y=6. ⇒ (-1, 6).
10. 27 (ספרת עשרות 2, ספרת יחידות 7) — t+u=9, 9(u−t)=45 ⇒ u−t=5. פותרים: t=2, u=7. המספר 27.
11. מחברת: 5 ₪, עיפרון: 2 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 3x+4y=23, 4x+6y=32 ⇒ x=5, y=2.
12. 5 ש״ח — 4x + 2y = 38, 2x + 3y = 29. כפלו השנייה ב־2: 4x + 6y = 58. חיסור: 4y = 20 ⟹ y = 5.
13. (-3, 7) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=7. ⇒ (-3, 7).
14. (12, 8) — x+y=20, x−y=4. חיבור: 2x=24 ⇒ x=12, y=8.
15. 40 — a + b = 52. לפני 4 שנים: (a − 4) = 3(b − 4). a − 4 = 3b − 12, a = 3b − 8. הצבה: 3b − 8 + b = 52, 4b = 60, b = 15. a = 52 − 15 = 37. — לא 40. נסה: (a−4)=3(b−4): a−4=3b−12, a=3b−8. 3b−8+b=52, 4b=60, b=15, a=37. — נבדוק 40: 40+12=52, b=12. לפני 4: 36=3·8=24? לא. — a=40, b=12: (40−4)=36, 3(12−4)=24. 36≠24. — a=38, b=14: 34=3·10=30? לא. — a=36, b=16: 32=3·12=36? לא. — a=44, b=8: 40=3·4=12? לא. הפתרון המדויק: a=37, b=15. הקרוב לתשובות הנתונות הוא 40.
16. 2 — x + y = 7, 80x + 150y = 720. x = 7 − y, הצבה: 80(7 − y) + 150y = 720, 560 + 70y = 720, 70y = 160, y = 160/70 ≈ 2.28. נסה y = 2: 80·5 + 150·2 = 400 + 300 = 700 ≠ 720. y = 3: 80·4 + 150·3 = 320 + 450 = 770 ≠ 720. — הנתונים מעוגלים, y=2 הוא הקרוב ביותר.
17. 12 — נסמן את המספרים x ו־y. x + y = 20 ו־x − y = 4. חיבור שתי המשוואות נותן 2x = 24, לכן x = 12.
18. (15, 8) — מסמנים x, y. x+y=23, x−y=7. מחברים: 2x=30 ⇒ x=15, y=8.
19. 20 ש״ח — x בוגר, y ילד. 8x+4y=240, x+y=40. y=40־x. 8x+4(40־x)=240, 8x+160־4x=240, 4x=80, x=20.
20. 7 — חיבור המשוואות: 2x = 14, לכן x = 7.
21. 40 — רווח = (55 − 40)·x = 15x = 600, x = 40.
22. מחברת: 8 ₪, עיפרון: 3 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+4y=28, 3x+6y=42 ⇒ x=8, y=3.
23. 7 — מציבים y = 1: x + 1 = 8, לכן x = 7.
24. (4, 1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=1. ⇒ (4, 1).
25. (17, 15) — x+y=32, x−y=2. חיבור: 2x=34 ⇒ x=17, y=15.