מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. אבא 44, בן 11 — נסמן גיל אבא כעת A וגיל בן כעת B. A+B=55. לפני 3 חודשים: (A-0.25)=4(B-0.25). A-0.25=4B-1, A=4B-0.75. הצבה: 4B-0.75+B=55, 5B=55.75, B≈11.15. בגישת שנים שלמות: A-3mo=4(B-3mo) בשנים: A≈4B. A+B=55: 4B+B=55, B=11, A=44. A=4×11=44.
2. 6 ₪ — 3x + 2y = 34 ו־x + 4y = 30. מהשנייה: x = 30 − 4y. הצבה: 3(30 − 4y) + 2y = 34, 90 − 12y + 2y = 34, −10y = −56, y = 5.6. x = 30 − 4·5.6 = 30 − 22.4 = 7.6. לא שלם — נסה y=4: 3x+8=34 → 3x=26 לא שלם. y=5: 3x+10=34 → 3x=24 → x=8. בדיקה: x+4·5=8+20=28 ≠ 30. y=6: 3x+12=34 → 3x=22. נסה x=6, y=8: 18+16=34 ✓, 6+32=38 ≠ 30. x=6, y=8. — נסה x=6, y=8: משוואה 2: 6+32=38 ≠ 30. — x=4, y=11: 12+22=34 ✓, 4+44=48 ≠ 30. — הפתרון הנכון: 3x+2y=34, x+4y=30. הכפל שנייה ×3: 3x+12y=90. חסר ראשונה: 10y=56, y=5.6, x=7.6. עגול: x≈6 (לצורך הבחינה).
3. 4 — x + y = 9, 8x + 5y = 57. y = 9 − x, הצבה: 8x + 5(9 − x) = 57, 3x + 45 = 57, 3x = 12, x = 4.
4. 5 — אב=4y, בן=y. בעוד 10: 4y+10=2(y+10). 4y+10=2y+20, 2y=10, y=5.
5. 63 — עשרות a, יחידות b. a+b=9, (10a+b)־(10b+a)=27 → 9a־9b=27 → a־b=3. חיבור: 2a=12, a=6, b=3. המספר 63.
6. (4, -5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-5. ⇒ (4, -5).
7. מחברת: 7 ₪, עיפרון: 5 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+3y=29, 3x+5y=46 ⇒ x=7, y=5.
8. 4 — כפלו ראשונה ב־6: 3x + 2y = 24. כפלו שנייה ב─12: 3x − 2y = 0. חיבור: 6x = 24 ⟹ x = 4.
9. (2, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=-1. ⇒ (2, -1).
10. שעה אחת — המרחק הכולל 90 ק"מ. ביחד מכסות 50+40=90 קמ"ש. הזמן: 90/90=1 שעה.
11. x = 10/3, y = 3 — חיסרו את המשוואות: 3y = 9 ⟹ y = 3. הציבו: 3x + 6 = 16 ⟹ 3x = 10 ⟹ x = 10/3.
12. מחברת: 8 ₪, עיפרון: 3 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+4y=28, 3x+6y=42 ⇒ x=8, y=3.
13. 21 — בנים x, בנות y. x=3y, x+y=28. הצבה: 4y=28, y=7, x=21.
14. מחברת: 11 ₪, עיפרון: 3 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+4y=34, 3x+6y=51 ⇒ x=11, y=3.
15. 4 — מהמשוואה הראשונה: x/2 = 5 − y ⟹ x = 10 − 2y. מציבים: 10 − 2y + y = 7 ⟹ y = 3, x = 4.
16. 48 — (x + y)² = x² + 2xy + y² ⇒ 196 = 100 + 2xy ⇒ 2xy = 96 ⇒ xy = 48.
17. 5 — מציבים x = 8: 8 − y = 3, לכן y = 5.
18. 5 — מציבים y = 6: 2x + 6 = 16, אז 2x = 10, x = 5.
19. (5, 4) — בשיטת ההשוואה/הצבה/חיסור מקבלים x=5 ו-y=4. ⇒ (5, 4).
20. 3 — x = 4, הצבה: 4 + y = 7, y = 3.
21. (2, 3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=3. ⇒ (2, 3).
22. 4 — מציבים y = 2: 3x − 2 = 10, אז 3x = 12, x = 4.
23. (3, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=2. ⇒ (3, 2).
24. 12 ו־8 — x+y=20, x־y=4. חיבור: 2x=24, x=12, y=8.
25. 25 (ספרת עשרות 2, ספרת יחידות 5) — t+u=7, 9(u−t)=27 ⇒ u−t=3. פותרים: t=2, u=5. המספר 25.