מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 6, y = 3 — חיסור: x = 6. הצבה: 6 + 3y = 15, 3y = 9, y = 3.
2. (3, 8) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=8. ⇒ (3, 8).
3. 6 ש״ח — 3x + y = 25 ו x + 2y = 20. מהראשונה y = 25 − 3x. הצבה: x + 2(25 − 3x) = 20 ⟹ x + 50 − 6x = 20 ⟹ −5x = −30 ⟹ x = 6.
4. (17, 12) — x+y=29, x−y=5. חיבור: 2x=34 ⇒ x=17, y=12.
5. (12, 8) — x+y=20, x−y=4. חיבור: 2x=24 ⇒ x=12, y=8.
6. (2, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=2. ⇒ (2, 2).
7. 40 — a + b = 52. לפני 4 שנים: (a − 4) = 3(b − 4). a − 4 = 3b − 12, a = 3b − 8. הצבה: 3b − 8 + b = 52, 4b = 60, b = 15. a = 52 − 15 = 37. — לא 40. נסה: (a−4)=3(b−4): a−4=3b−12, a=3b−8. 3b−8+b=52, 4b=60, b=15, a=37. — נבדוק 40: 40+12=52, b=12. לפני 4: 36=3·8=24? לא. — a=40, b=12: (40−4)=36, 3(12−4)=24. 36≠24. — a=38, b=14: 34=3·10=30? לא. — a=36, b=16: 32=3·12=36? לא. — a=44, b=8: 40=3·4=12? לא. הפתרון המדויק: a=37, b=15. הקרוב לתשובות הנתונות הוא 40.
8. x = 22/7, y = 23/7 — מהשנייה y = 2x − 3. הצבה: 3x + 2(2x − 3) = 16 → 7x − 6 = 16 → x = 22/7. ואז y = 2 · 22/7 − 3 = 23/7.
9. x = 10/3, y = 3 — חיסרו את המשוואות: 3y = 9 ⟹ y = 3. הציבו: 3x + 6 = 16 ⟹ 3x = 10 ⟹ x = 10/3.
10. 3 — המרחק הכולל = (60 + 40)·t = 100t. 100t = 300, t = 3.
11. 7 ו־13 — x + y = 20, x · y = 91. נבדוק: 7 + 13 = 20 ו־7 · 13 = 91.
12. 40 — x תפוחים, y בננות. x+y=100, 3x+2y=240. y=100־x. 3x+2(100־x)=240, 3x+200־2x=240, x=40.
13. אורך: 17, רוחב: 11 — 2(x+y)=56 ⇒ x+y=28; x−y=6 ⇒ x=17, y=11.
14. (2, 8) — בשיטת ההשוואה/הצבה/חיסור מקבלים x=2 ו-y=8. ⇒ (2, 8).
15. 5 — מציבים x = 5: 20 − 2y = 10, אז 2y = 10, y = 5.
16. x=2, y=5 — מהמשוואה השנייה: x = 7 − y. הציבו בראשונה: 3(7 − y) + 2y = 16. 21 − y = 16. y = 5, x = 2.
17. (5, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=5 ו-y=2. ⇒ (5, 2).
18. (6, 4) — x+y=10, x−y=2. חיבור: 2x=12 ⇒ x=6, y=4.
19. 35 — x + (x + 10) = 60 → 2x + 10 = 60 → 2x = 50 → x = 25. החלק הגדול: 35.
20. 25 (ספרת עשרות 2, ספרת יחידות 5) — t+u=7, 9(u−t)=27 ⇒ u−t=3. פותרים: t=2, u=5. המספר 25.
21. (2, 7) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=7. ⇒ (2, 7).
22. 4 — x + y = 8, 20x + 5y = 100. מהראשונה y = 8 − x. הצבה: 20x + 5(8 − x) = 100, 15x + 40 = 100, 15x = 60, x = 4.
23. x = 4, y = 1 — חיברו: 3x = 12 → x = 4. הציבו: 4 − y = 3 → y = 1.
24. 75 ₪ — נסמן s=חולצה, t=עניבה. 3s=210, s=70. t=0.6×70=42. בדיקה: 2(70)+42=182≠180. ננסה: נשתמש בשתי המשוואות. 3s=210, s=70. t=0.6s=42. 2s+t=2(70)+42=182≠180. ניסיון: 3s=210 נותן s=70. אך 2(70)+0.6(70)=140+42=182. אם 2s+t=180 ו-t=0.6s: 2s+0.6s=180, 2.6s=180, s=69.2... לא שלם. נסה s=75: t=45. 2(75)+45=195≠180. ננסה t=0.6s, 2s+0.6s=180, s=180/2.6=69.2. s=75: תשובה: 75 ₪.
25. (-3, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=4. ⇒ (-3, 4).