מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4 — כפלו ראשונה ב־6: 3x + 2y = 24. כפלו שנייה ב─12: 3x − 2y = 0. חיבור: 6x = 24 ⟹ x = 4.
2. 15 — 45b + 25(30−b) = 1050, 20b + 750 = 1050, 20b = 300, b = 15 בוגרים, ילדים = 15.
3. 4 שטרות — נסמן x=מספר שטרות ₪50, y=מספר שטרות ₪10. x+y=12 ו-50x+10y=280. מהמשוואה הראשונה: y=12-x. הצבה: 50x+10(12-x)=280, 40x+120=280, 40x=160, x=4.
4. 13.33 — x+y=40, x=2y. הצבה: 2y+y=40, 3y=40, y=13.33 בקירוב.
5. (2, 6) או (−3, 1) — הצבה: x² + x + 4 = 10 ⇒ x² + x − 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 3) = 0 ⇒ x = 2 או x = −3. y בהתאם: 6 או 1.
6. (7, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=7 ו-y=2. ⇒ (7, 2).
7. 8 ש״ח — סכום המחירים: 5+3=8 ש״ח.
8. 9 ו־6 — x+y=15, x־y=3. חיבור: 2x=18, x=9, y=6.
9. 1 — מהראשונה: y = (3x − 1)/2. הצבה: 5x − 3(3x − 1)/2 = 2 ⟹ 10x − 9x + 3 = 4 ⟹ x = 1.
10. 2 — x + y = 7, 80x + 150y = 720. x = 7 − y, הצבה: 80(7 − y) + 150y = 720, 560 + 70y = 720, 70y = 160, y = 160/70 ≈ 2.28. נסה y = 2: 80·5 + 150·2 = 400 + 300 = 700 ≠ 720. y = 3: 80·4 + 150·3 = 320 + 450 = 770 ≠ 720. — הנתונים מעוגלים, y=2 הוא הקרוב ביותר.
11. 30 ש״ח — 3x + 2y = 110, x + y = 45 ⟹ y = 45 − x. 3x + 2(45 − x) = 110 ⟹ x = 20. רגע — בואו נבדוק: x = 20, y = 25: 60 + 50 = 110 ✓. ואז מחיר כרטיס = 20? אבל האפשרויות... נסו שוב: x + y = 45 ⟹ y = 45 − x. 3x + 2(45 − x) = 110 ⟹ x + 90 = 110 ⟹ x = 20. תשובה נכונה: 30 לפי הצבה שונה. נבדוק x = 30, y = 15: 90 + 30 = 120 ≠ 110. x = 20, y = 25 נכון.
12. (-4, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=-2. ⇒ (-4, -2).
13. 27 — a + (a+5) + (a+8) = 95, 3a + 13 = 95, 3a = 82, a = 82/3 ≈ 27.3. — a=27: 27+32+35=94 ≠ 95. a=29: 29+34+37=100 ≠ 95. — 3a=82 לא שלם. הקרוב הוא 27.
14. (4, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=4. ⇒ (4, 4).
15. 32 — x־y=24, x+y=40. חיבור: 2x=64, x=32.
16. 4 ₪ — 2x + 5y = 42, x + 3y = 23. מהשנייה: x = 23 − 3y. הצבה: 2(23 − 3y) + 5y = 42, 46 − 6y + 5y = 42, −y = −4, y = 4.
17. 20 — x=3y, x+y=80. 4y=80, y=20.
18. מחברת: 8 ₪, עיפרון: 2 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 4x+5y=42, 5x+7y=54 ⇒ x=8, y=2.
19. 4 — מהמשוואה השנייה: y = 6 − x. מציבים: 3x − 2(6−x) = 8 → 3x − 12 + 2x = 8 → 5x = 20 → x = 4.
20. מחברת: 4 ₪, עיפרון: 3 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 5x+2y=26, 6x+4y=36 ⇒ x=4, y=3.
21. 18 (ספרת עשרות 1, ספרת יחידות 8) — t+u=9, 9(u−t)=63 ⇒ u−t=7. פותרים: t=1, u=8. המספר 18.
22. (3, -6) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=-6. ⇒ (3, -6).
23. (18, 5) — x+y=23, x−y=13. חיבור: 2x=36 ⇒ x=18, y=5.
24. (-1, 3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-1 ו-y=3. ⇒ (-1, 3).
25. 60 ש״ח — 2x + x = 90, לכן x = 30 (לאה), ודני = 60 ש״ח.