חדו״א — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. 18 — A=x(12−x)/2. A'=(12−2x)/2=0 ⇒ x=6. A=6·6/2=18.
2. (0, −2) — f'(1)=3. y−1=3(x−1) ⇒ y=3x−2. ב-x=0: y=−2.
3. 32√3/9 — A(x)=2x(4−x²)=8x−2x³. A'=8−6x²=0 ⇒ x=2/√3. A=2(2/√3)(4−4/3)=32√3/9.
4. ≈37.9 — V=x(8−2x)². V'=0 ⇒ x=4/3. V=(4/3)(16/3)²=1024/27≈37.9.
5. 32/3 — חיתוכים ±2. ∫[−2..2](3−(x²−1))dx = ∫(4−x²) = 32/3.
6. 1/2 — שורש באמצע ב-0, פצל: |∫[−1..0]|+|∫[0..1]| = 2·1/4 = 1/2.
7. (−1, −4) — f'(x) = 2x + 2 = 0 ⇒ x = −1 בתוך הקטע. f(−1) = −4, f(−3) = 0, f(0) = −3. המינ' (−1, −4).
8. (2, −4) — f'(x) = 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ∈ [0,3]. f(2) = −4. בודקים גם קצוות: f(0)=0, f(3)=−3. המינ' ב-(2,−4).
9. 2 — V=x(10−2x)(16−2x). V'=12x²−104x+160=0. שורש בתחום (0,5): x=2.
10. (0, 3) — ב-x=0: f'(−)>0, f'(+)<0 → מקסימום מקומי. f(0)=3.
11. x³/3 − 4x + 3 — f(x) = x³/3 − 4x + C; f(3) = 9 − 12 + C = 0 ⇒ C = 3.
12. 8 — אי-זוגית, פצל: 2·∫[0..2]x³dx = 2·4 = 8.
13. x<−2 או 0<x<2 — f'=4x(x−2)(x+2)<0 בתחומים אלו (טבלת סימנים).
14. 12π√3 — r²+h²/4=9. V=πr²h=π(9−h²/4)h. V'=0 ⇒ h=2√3, r²=6. V=π·6·2√3=12π√3.
15. $\dfrac{9}{2}$ — מוצאים את שורשי הפונקציה: $x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0$, כלומר $x=-1$ ו-$x=2$. בקטע $[-1,2]$ הפונקציה שלילית, ולכן השטח הוא $\left|\int_{-1}^{2}(x^2-x-2)\,dx\right|$. מחשבים: $\int_{-1}^{2}(x^2-x-2)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x\right]_{-1}^{2} = \left(\dfrac{8}{3}-2-4\right)-\left(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2\right) = -\dfrac{10}{3}-\dfrac{7}{6} = -\dfrac{27}{6} = -\dfrac{9}{2}$. השטח הוא $\left|-\dfrac{9}{2}\right| = \dfrac{9}{2}$.
16. 3 — f'(x)=4x³−16x=4x(x²−4)=4x(x−2)(x+2). שלושה שורשים → 3 קיצונים.
17. 4/3 — חיתוכים 0, 2. ∫[0..2](2x−x²)dx = 4 − 8/3 = 4/3.
18. −1 — f'=4x³−4x=4x(x²−1). מינימום ב-x=±1: f(1)=1−2=−1.
19. x = 1 או x = −1 — שיפוע הישר = −1/6 ⇒ מאונך לו = 6. f'(x) = 3x² + 3 = 6 ⇒ x² = 1.
20. 112.5 — S=x²+(15−x)². S'=2x−2(15−x)=0 ⇒ x=7.5. S=56.25+56.25=112.5.