דף עבודה: חדו״א (רמה קשה)

מפתח תשובות

1. 18 — A=x(12−x)/2. A'=(12−2x)/2=0 ⇒ x=6. A=6·6/2=18.
2. (0, −2) — f'(1)=3. y−1=3(x−1) ⇒ y=3x−2. ב-x=0: y=−2.
3. 32√3/9 — A(x)=2x(4−x²)=8x−2x³. A'=8−6x²=0 ⇒ x=2/√3. A=2(2/√3)(4−4/3)=32√3/9.
4. ≈37.9 — V(x)=x(8−2x)²=64x−32x²+4x³. V'(x)=64−64x+12x²=0 ⇒ 3x²−16x+16=0 ⇒ x=(16±8)/6 ⇒ x=4 (לא תקף — הצלע מתאפסת) או x=4/3. V(4/3)=(4/3)(16/3)²=1024/27≈37.9.
5. 32/3 — חיתוכים ±2. ∫[−2..2](3−(x²−1))dx = ∫(4−x²) = 32/3.
6. 1/2 — f(x)=x³−x=x(x−1)(x+1), שורשים ב-x=−1,0,1; ב-(−1,0) f>0 וב-(0,1) f<0, לכן מפצלים בנקודה x=0. אנטי-נגזרת: F(x)=x⁴/4−x²/2. ∫[−1..0]f dx=F(0)−F(−1)=0−(1/4−1/2)=1/4. ∫[0..1]f dx=F(1)−F(0)=(1/4−1/2)−0=−1/4, כלומר שטח=|−1/4|=1/4. השטח הכולל = 1/4+1/4 = 1/2.
7. (−1, −4) — f'(x) = 2x + 2 = 0 ⇒ x = −1 בתוך הקטע. f(−1) = −4, f(−3) = 0, f(0) = −3. המינ' (−1, −4).
8. (2, −4) — f'(x) = 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ∈ [0,3]. f(2) = −4. בודקים גם קצוות: f(0)=0, f(3)=−3. המינ' ב-(2,−4).
9. 2 — V(x)=x(10−2x)(16−2x) = x(160−52x+4x²) = 4x³−52x²+160x. V'(x)=12x²−104x+160=0. חילוק ב-4: 3x²−26x+40=0. ∆=26²−4·3·40=196, √∆=14. x=(26±14)/6 → x=2 או x=20/3. בתחום (0,5) מתקבל רק x=2.
10. (0, 3) — f'(x)=4x³−16x=4x(x²−4)=4x(x−2)(x+2). שורשי f': x=−2, 0, 2. בדיקת סימן: עבור x<−2, f'(x)<0; עבור −2<x<0, f'(x)>0; עבור 0<x<2, f'(x)<0; עבור x>2, f'(x)>0. ב-x=0 הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי, ולכן זו נקודת מקסימום מקומי: f(0)=0⁴−8·0²+3=3.
11. x³/3 − 4x + 3 — f(x) = x³/3 − 4x + C; f(3) = 9 − 12 + C = 0 ⇒ C = 3.
12. 8 — הפונקציה x³ אי-זוגית, ולכן שני חלקי השטח סביב 0 שווים: השטח הכולל = 2·∫[0..2]x³dx. מחשבים את האינטגרל: ∫x³dx = x⁴/4, ולכן ∫[0..2]x³dx = (2⁴/4) − (0⁴/4) = 16/4 − 0 = 4. לכן השטח הכולל = 2·4 = 8.
13. x<−2 או 0<x<2 — f'(x)=4x³−16x=4x(x−2)(x+2), שורשים ב-x=−2,0,2. טבלת סימנים: עבור x<−2: f'<0 (יורדת); עבור −2<x<0: f'>0 (עולה); עבור 0<x<2: f'<0 (יורדת); עבור x>2: f'>0 (עולה). לכן תחומי הירידה: x<−2 או 0<x<2.
14. 12π√3 — r²+h²/4=9. V=πr²h=π(9−h²/4)h. V'=0 ⇒ h=2√3, r²=6. V=π·6·2√3=12π√3.
15. $\dfrac{9}{2}$ — מוצאים את שורשי הפונקציה: $x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0$, כלומר $x=-1$ ו-$x=2$. בקטע $[-1,2]$ הפונקציה שלילית, ולכן השטח הוא $\left|\int_{-1}^{2}(x^2-x-2)\,dx\right|$. מחשבים: $\int_{-1}^{2}(x^2-x-2)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x\right]_{-1}^{2} = \left(\dfrac{8}{3}-2-4\right)-\left(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2\right) = -\dfrac{10}{3}-\dfrac{7}{6} = -\dfrac{27}{6} = -\dfrac{9}{2}$. השטח הוא $\left|-\dfrac{9}{2}\right| = \dfrac{9}{2}$.