דף עבודה: חדו״א (רמה בינוני)

מפתח תשובות

1. 0 — F=x³/3−x². F(3)−F(0)=9−9=0.
2. מקסימום (2, 9) — a = −1 < 0 ⇒ פרבולה כלפי מטה ⇒ מקסימום. x_v = −4/(−2) = 2, f(2) = −4 + 8 + 5 = 9.
3. y = 3x − 2 — f(1) = 1; f'(1) = 3. y − 1 = 3(x − 1) ⇒ y = 3x − 2.
4. 11 — f'(x) = 3x² − 1. f'(2) = 12 − 1 = 11.
5. (2, 4) — f'(x) = −2x + 4 = 0 ⇒ x = 2. f(2) = 4. שינוי סימן +→− ⇒ מקסימום.
6. 64 — A(8)=8·8=64. זה גם המקסימום (A'=16−2x=0 ⇒ x=8).
7. x³ + 2 — f(x) = x³ + C; f(0) = 0 + C = 2 ⇒ C = 2.
8. x=0, ±2 — x³−4x = x(x²−4) = x(x−2)(x+2). שורשים: 0, 2, −2.
9. 3 — f'(x) = 2x − 2 = 4 ⇒ x = 3.
10. כן, כי f(−x) = f(x) — f(−x) = (−x)⁴ − 8(−x)² = x⁴ − 8x² = f(x). פונקציה זוגית.
11. (−1, 0), (5, 0) — x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) = 0 ⇒ x = 5 או x = −1.
12. 6x − 12 — f' = 3x² − 12x + 9; f'' = 6x − 12.
13. כן, f(−x) = −f(x) — f(−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −f(x). אי-זוגית.
14. 36 — x + y = 12. A = x(12 − x). A'(x) = 12 − 2x = 0 ⇒ x = 6. A = 6·6 = 36 (ריבוע).
15. y = 4x − 4 — f'(2)=4, f(2)=4. y−4=4(x−2) ⇒ y=4x−4.