דף עבודה: טריגונומטריה (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה י׳ · יסודות בגרות · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.במשולש ישר זווית, הניצבים הם 5 ו-5√3. מהי הזווית הקטנה?
(א)60°
(ב)30°
(ג)90°
(ד)45°
2.במשולש ABC ישר זווית ב-A, AB = 8 וזווית B = 30°. מהו אורך BC (היתר)?
(א)4
(ב)16
(ג)8√3
(ד)16√3/3
3.מגדל בגובה 60 מ'. שני תצפיתנים על אותו צד: זווית הגבהה 30° ו-60°. מהו המרחק ביניהם?
(א)60√3 מ'
(ב)20√3 מ'
(ג)40√3 מ'
(ד)60 מ'
4.עמוד תאורה בגובה h. הצל באורך h√3 בשעה שהשמש בזווית α. מהי α?
(א)45°
(ב)60°
(ג)30°
(ד)75°
5.במשולש ישר זווית ניצביו 6 ו-8. הגובה ליתר מחלק את היתר לשני קטעים. מהו הקטע שליד הניצב 6?
(א)32/5
(ב)6/5
(ג)4.5
(ד)18/5
6.במלבן ABCD, האלכסון AC=15 וזווית CAB=30°. מה שטח המלבן?
(א)225/2
(ב)225√3/2
(ג)225√3/4
(ד)150
7.במשולש ישר זווית עם גובה ליתר, BH = 16 ו-AB = 20. מהו BC?
(א)8√5
(ב)12
(ג)8
(ד)4√5
8.במשולש ABC ישר זווית ב-C, CD גובה ל-AB. AD = 4, BD = 9. מהו CD?
(א)36
(ב)6
(ג)5
(ד)√13
9.שני משולשים דומים בעלי שטחים 9 ו-25. מהו יחס הצלעות?
(א)√3:5
(ב)3:5
(ג)9:25
(ד)3:25
10.במשולש ABC ישר זווית ב-C, גובה CH ליתר. AC = 6, BC = 8. מהו CH?
(א)7
(ב)4
(ג)24/5
(ד)5
11.מהו הערך של (sin α + cos α)² − 2·sin α · cos α?
(א)1
(ב)sin 2α
(ג)2
(ד)0
12.במשולש ישר זווית ABC (זווית ישרה ב-C), AC=8, זווית A=30°. מה אורך BC?
(א)8/√3
(ב)16
(ג)4
(ד)8√3
13.מתצפיתן בגובה 20 מ' מעל הים, סירה נראית בזווית שפל 30°. מה מרחק הסירה מבסיס הצוק?
(א)20/√3
(ב)20√3
(ג)40
(ד)10√3
14.פשט: sin²α + cos²α + tan²α · cos²α (α חדה).
(א)2
(ב)1
(ג)cos²α + 1
(ד)1 + sin²α
15.במשולש ABC עם BD גובה ל-AC: AB = 12, זווית A = 30°, זווית C = 45°. מהו BC?
(א)6
(ב)6√3
(ג)6√2
(ד)12

מפתח תשובות

30° — הזווית הקטנה מול הניצב הקטן (5). tan α = 5/(5√3) = 1/√3 = √3/3, לכן α = 30°.
16√3/3 — cos B = AB/BC, לכן BC = AB/cos 30° = 8/(√3/2) = 16/√3 = 16√3/3.
40√3 מ' — מרחק 1: d₁ = 60/tan 30° = 60√3. מרחק 2: d₂ = 60/tan 60° = 60/√3 = 20√3. הפרש: 60√3 − 20√3 = 40√3.
30° — tan α = גובה/צל = h/(h√3) = 1/√3 = √3/3, ולכן α = 30°.
18/5 — יתר = 10. ניצב² = הטל · יתר → 36 = AH · 10, לכן AH = 18/5.
225√3/4 — AB = AC·cos(30°) = 15·(√3/2) = 15√3/2. BC = AC·sin(30°) = 15/2. שטח = (15√3/2)·(15/2) = 225√3/4.
8√5 — BC² = BH · BA = 16 · 20 = 320, BC = √320 = 8√5.
6 — משפט הגובה: CD² = AD·BD = 4·9 = 36. CD = 6.
3:5 — יחס הצלעות = √(יחס השטחים) = √(9/25) = 3/5.
24/5 — AB = 10 (פיתגורס). שטח = AC·BC/2 = 24, וגם = AB·CH/2 = 5·CH. לכן CH = 24/5.
1 — (sin α + cos α)² = sin²α + 2·sin α·cos α + cos²α. הפחתת 2·sin α·cos α משאירה sin²α + cos²α = 1.
8/√3 — tan(30°) = BC/AC ⇒ BC = AC·tan(30°) = 8·(1/√3) = 8/√3.
20√3 — tan 30° = 20/d, d = 20/tan 30° = 20·3/√3 = 20√3 מ'.
1 + sin²α — tan²α · cos²α = sin²α. לכן הביטוי = (sin²α + cos²α) + sin²α = 1 + sin²α.
6√2 — BD = 6. במשולש BDC: sin C = BD/BC, BC = 6/(√2/2) = 12/√2 = 6√2.