טריגונומטריה — כיתה י׳ · יסודות בגרות (בינוני)

פתרונות

1. 30° — tan α = 1/√3 = √3/3, ולכן α = 30°.
2. 1 — sin 45° · cos 45° = (√2/2)(√2/2) = 1/2. סה"כ: 1/2 + 1/2 = 1.
3. 45° — tan α = 6/6 = 1, ולכן α = 45°.
4. 3/5 — tan α = מול/ליד = 3/4 → ניצבים 3 ו-4, יתר = 5 (פיתגורס). sin α = מול/יתר = 3/5.
5. 10 — AC צמודה ל-A (לא יתר): cos A = AC/AB, לכן AC = 20 · cos 60° = 20 · 1/2 = 10.
6. 5√3 — AC ליד זווית A (לא יתר). AC = AB · cos A = 10 · √3/2 = 5√3.
7. 3/5 — cos²α = 1 − 16/25 = 9/25, cos α = 3/5 (חיובי כי α חדה). זה משולש 3-4-5.
8. 45° — tan α = 40/40 = 1, ולכן α = 45°.
9. 8√2 — sin A = BC/AB, לכן AB = BC/sin 45° = 8/(√2/2) = 16/√2 = 8√2.
10. 15/17 — היתר = √(64+225) = √289 = 17. הזווית מול 8 צמודה ל-15. cos = ליד/יתר = 15/17.
11. sin α — tan α · cos α = (sin α/cos α) · cos α = sin α.
12. sin α — 1 − cos²α = sin²α. לכן sin²α/sin α = sin α.
13. 15/17 — זה משולש פיתגורי 8-15-17. sin α = מול/יתר = 15/17. ניתן לוודא: sin²+cos² = 225/289 + 64/289 = 1.
14. cos α + sin α — sin(90°−α) = cos α ו-cos(90°−α) = sin α. סכום: cos α + sin α.
15. 30° — במשולש ABC ישר זווית ב-B: tan(זווית BCA) = AB/BC = 4/(4√3) = √3/3, ולכן הזווית = 30°.
16. 1 — tan α·cos α = sin α. ולכן sin α/sin α = 1.
17. cos²α — (a−b)(a+b) = a² − b² = 1 − sin²α = cos²α.
18. 30° — cos α = 6√3/12 = √3/2, ולכן α = 30°.
19. 10√3 — tan 30° = h/30, לכן h = 30 · tan 30° = 30 · √3/3 = 10√3 מ'.
20. 1 + 2sin α·cos α — פתיחת ריבוע: sin²α + 2sin α·cos α + cos²α = 1 + 2sin α·cos α.