דף עבודה: טריגונומטריה (רמה קל)

מתמטיקה · כיתה י"א · 3 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.אורי עומד במרחק אופקי של $10$ מטר מעץ ורואה את צמרתו בזווית הגבהה של $3 0^{\circ}$ . מה גובה העץ (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $5.77$
(ב) $5.00$
(ג) $17.32$
(ד) $8.66$
2.מהו הערך של $cos 3 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $1$
(ד) $\frac{3}{2}$
3.מי גדול יותר: $tan 4 5^{\circ}$ או $sin 6 0^{\circ}$ ?
(א)שני הערכים שווים
(ב) $tan 4 5^{\circ}$
(ג)אי אפשר לקבוע בלי מחשבון
(ד) $sin 6 0^{\circ}$
4.מהו הערך של $sin 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ}$ ?
(א) $0.25$
(ב) $1.37$
(ג) $1$
(ד) $0$
5.ממגדל תצפית בגובה $75$ מטר מעל פני הים נצפית ספינת דיג בזווית מורד שעבורה $tan θ = 1.25$ . מה המרחק האופקי בין בסיס המגדל לספינה (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $33.33$
(ב) $30$
(ג) $60$
(ד) $93.75$
6.אורי משחרר עפיפון על חוט (מיתר) באורך $75$ מטר, הנמתח בזווית הגבהה של $3 0^{\circ}$ מעל הקרקע. מה גובה העפיפון מעל הקרקע (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $43.30$
(ב) $37.5$
(ג) $150$
(ד) $64.95$
7.מהו הערך של $cos 4 5^{\circ} + sin 4 5^{\circ}$ ?
(א) $2$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $2$
(ד) $1$
8.ממגדלור בחיפה בגובה $40$ מטר נצפית ספינה בזווית מורד של $3 0^{\circ}$ . מה המרחק האופקי של הספינה מבסיס המגדלור (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $80.00$
(ב) $69.28$
(ג) $46.19$
(ד) $23.09$
9.במשולש שתי צלעות הן $a = 20$ ו- $b = 3$ והזווית הכלואה ביניהן היא $9 0^{\circ}$ . מהו שטח המשולש (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $30$
(ב) $0$
(ג) $11.5$
(ד) $60$
10.מהו הערך של $sin 6 0^{\circ}$ ?
(א) $1$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $\frac{1}{2}$
11.במשולש שתי צלעות הן $a = 8$ ו- $b = 10$ והזווית הכלואה ביניהן היא $9 0^{\circ}$ . מהו שטח המשולש?
(א) $80$
(ב) $4$
(ג) $40$
(ד) $18$
12.צופה על הקרקע רואה מטוס הטס בגובה קבוע, כאשר זווית ההגבהה שלו אל המטוס מקיימת $tan θ = 0.75$ , והמרחק האופקי בין הצופה למטוס (ההיטל על הקרקע) הוא $48$ מטר. מה גובה המטוס (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $64$
(ב) $36$
(ג) $12$
(ד) $18$
13.יעל עומדת במרחק אופקי של $9$ מטר מבסיס מגדל תצפית, ורואה את קצהו העליון בזווית הגבהה של $6 0^{\circ}$ . מה גובה המגדל (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $7.79$
(ב) $4.5$
(ג) $18$
(ד) $15.59$
14.רחפן מצלם מרחף בגובה $12$ מטר מעל הקרקע, ומזהה אופניים חונים על הקרקע בזווית מורד של $3 0^{\circ}$ . מה המרחק האופקי בין הרחפן לאופניים (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $24.00$
(ב) $6.93$
(ג) $20.78$
(ד) $6.00$
15.במשולש שתי צלעות הן $a = 9$ ו- $b = 9$ והזווית הכלואה ביניהן היא $9 0^{\circ}$ . מהו שטח המשולש (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $81$
(ב) $28.64$
(ג) $40.5$
(ד) $0$

מפתח תשובות

$5.77$ — בזווית הגבהה הגובה שווה למרחק האופקי כפול הטנגנס של הזווית: $h=d\cdot\tan\alpha$. כאן $h=10\cdot\tan 30^\circ=10\cdot 0.5774\approx 5.77$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך של $\cos 30^\circ$ הוא $\,\frac{\sqrt{3}}{2}$ (ערך זווית מיוחדת).
$\tan 45^\circ$ — $\tan 45^\circ=1$ ו-$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87$. מכיוון ש-$1>\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 45^\circ$ גדול יותר.
$1$ — $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$ ו-$\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, ולכן הסכום הוא $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
$60$ — בזווית מורד, $\tan\theta = \frac{\text{גובה}}{\text{מרחק}}$, ולכן מרחק $=$ גובה $\div \tan\theta$. כאן $\tan\theta=1.25$, ולכן $75\div 1.25 = 60$. טעות נפוצה היא להכפיל את הגובה ב-$1.25$ במקום לחלק בו, מה שנותן $93.75$.
$37.5$ — החוט הוא היתר, והגובה מעל הקרקע הוא הניצב שמול הזווית: גובה $=$ יתר $\times \sin$ הזווית. $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, ולכן $75\times \frac{1}{2} = 37.5$.
$\sqrt{2}$ — $\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ולכן הסכום הוא $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.
$69.28$ — זווית המורד שווה לזווית ההגבהה מהספינה אל ראש המגדלור. לכן $\tan 30^\circ=\frac{40}{d}$, ומכאן $d=\frac{40}{\tan 30^\circ}=\frac{40}{0.5774}\approx 69.28$.
$30$ — $S=\frac12 ab\sin C=\frac12\cdot 20\cdot 3\cdot\sin 90^\circ=\frac12\cdot 60\cdot 1=30$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך של $\sin 60^\circ$ הוא $\,\frac{\sqrt{3}}{2}$ (ערך זווית מיוחדת).
$40$ — $S=\frac12ab\sin C=\frac12\cdot8\cdot10\cdot1=40$, כי $\sin90^\circ=1$.
$36$ — בזווית הגבהה, גובה $=$ מרחק אופקי $\times \tan\theta$. כאן $\tan\theta = 0.75$, ולכן הגובה $= 48\times 0.75 = 36$. טעות נפוצה היא לחלק את המרחק ב-$\tan\theta$ במקום להכפיל בו, מה שנותן $64$.
$15.59$ — בזווית הגבהה, $\tan\theta = \frac{\text{גובה}}{\text{מרחק אופקי}}$, ולכן גובה $=$ מרחק אופקי $\times \tan\theta$. $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, ולכן הגובה $= 9\times \sqrt{3} \approx 15.59$.
$20.78$ — זווית המורד מהרחפן שווה לזווית ההגבהה מהאופניים אל הרחפן. $\tan 30^\circ=\frac{12}{d}$, ומכאן $d=\frac{12}{\tan 30^\circ}=\frac{12}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=12\sqrt{3}\approx 20.78$ מטר.
$40.5$ — שטח $=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9\cdot 1=40.5$ (כי $\sin 90^\circ=1$).