דף עבודה: טריגונומטריה (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה י"א · 3 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.במשולש ישר זווית $P QR$ (הזווית הישרה ב- $Q$ ) $P Q = 14$ והזווית ב- $P$ היא $6 0^{\circ}$ . הניצב $QR$ הוא גם צלע במשולש $QR S$ , שבו $QS = 8$ והזווית הכלואה בין $QR$ ל- $QS$ היא $3 0^{\circ}$ . מהו שטח משולש $QR S$ (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $48.5$
(ב) $16.17$
(ג) $96.99$
(ד) $28$
2.במשולש ישר זווית $A B C$ (הזווית הישרה ב- $B$ ) $A B = 10$ והזווית ב- $A$ היא $3 0^{\circ}$ . הניצב $B C$ הוא גם צלע במשולש $B C D$ , שבו $B D = 9$ והזווית הכלואה בין $B C$ ל- $B D$ היא $6 0^{\circ}$ . מהו שטח משולש $B C D$ (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $67.5$
(ב) $25.98$
(ג) $38.97$
(ד) $22.5$
3.מהו הערך של $\frac{s i n 6 0 ^{\circ}}{c o s 3 0 ^{\circ}} + tan^{2} 6 0^{\circ}$ ?
(א) $3$
(ב) $4$
(ג) $1$
(ד) $2.73$
4.עמוד שגובהו $15$ מטר מטיל צל על הקרקע. זווית ההגבהה של השמש היא $6 0^{\circ}$ . מהו אורך הצל (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $23.66$
(ב) $9.66$
(ג) $8.66$
(ד) $7.66$
5.במשולש ABC ישר זווית ב-C, הניצב AC $= 6$ והניצב BC $= 8$ . מהי הזווית A (הזווית שמול הניצב BC), בהינתן ש- $tan 5 3^{\circ} \approx 1.33$ ו- $tan 3 7^{\circ} \approx 0.75$ ?
(א) $3 7^{\circ}$
(ב) $5 3^{\circ}$
(ג) $6 0^{\circ}$
(ד) $4 5^{\circ}$
6.במשולש שתי צלעות הן $14$ ו- $10$ והזווית ביניהן $3 0^{\circ}$ . חשבו את שטח המשולש (עיגול לשתי ספרות) ובחרו את התשובה הנכונה.
(א) $45$
(ב) $35$
(ג) $38$
(ד) $49$
7.בטרפז ישר-זווית (אחת הזוויות היא $9 0^{\circ}$ ) הגובה לבסיס הוא $8$ , והשוק האלכסונית יוצרת עם הבסיס הגדול זווית $β$ כך ש- $tan β = \frac{4}{3}$ . מהו אורך השוק האלכסונית (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $14$
(ב) $10.67$
(ג) $6$
(ד) $10$
8.במשולש ישר זווית הזוויות החדות $α$ ו- $β$ משלימות ( $α + β = 9 0^{\circ}$ ), ונתון $sin α = 0.6$ . מהו $cos β$ ?
(א) $0.4$
(ב) $0.6$
(ג) $0.36$
(ד) $0.8$
9.מהו הערך של הביטוי $\frac{sin 6 0 ^{\circ}}{cos 3 0 ^{\circ}} + tan 4 5^{\circ}$ ?
(א) $1$
(ב) $\frac{3}{2}$
(ג) $2$
(ד) $0$
10.מגדל תצפית עומד בראש גבעה. צופה העומד על הקרקע רואה את פסגת מגדל התצפית בזווית הגבהה של $4 5^{\circ}$ , ואת בסיס המגדל (שהוא גם פסגת הגבעה) בזווית הגבהה של $3 0^{\circ}$ . המרחק האופקי בין הצופה למגדל הוא $40$ מטר. מהו גובה מגדל התצפית עצמו, בלי גובה הגבעה (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $16.91$
(ב) $40.00$
(ג) $23.09$
(ד) $63.09$
11.עמוד שגובהו $8$ מטר מטיל צל על הקרקע. זווית ההגבהה של השמש היא $3 0^{\circ}$ . מהו אורך הצל (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $14.86$
(ב) $12.86$
(ג) $13.86$
(ד) $21.86$
12.אוהל משולש (בחתך הרוחב) שגובהו במרכז $15$ מטר, ודופן האוהל יוצרת עם הקרקע זווית של $6 0^{\circ}$ . מה רוחב בסיס האוהל (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $17.32$
(ב) $51.96$
(ג) $34.64$
(ד) $8.66$
13.סולם נשען על קיר ומגיע לגובה $7$ מטר. הסולם יוצר עם הקרקע זווית $4 5^{\circ}$ . מהו אורך הסולם (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $16.9$
(ב) $9.9$
(ג) $8.9$
(ד) $10.9$
14.במקבילית שתי צלעות סמוכות הן $8$ ו- $15$ והזווית ביניהן היא $3 0^{\circ}$ . שטח המקבילית שווה לכפול משטח המשולש שהאלכסון יוצר. מהו שטח המקבילית (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $69.28$
(ב) $30$
(ג) $60$
(ד) $103.92$
15.עמוד שגובהו $6$ מטר מטיל צל על הקרקע. זווית ההגבהה של השמש היא $6 0^{\circ}$ . מהו אורך הצל (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $4.46$
(ב) $2.46$
(ג) $9.46$
(ד) $3.46$

מפתח תשובות

$48.5$ — קודם $QR=PQ\cdot\tan 60^\circ=14\cdot\sqrt3\approx 24.25$. שטח $QRS$: $S=\frac12\cdot QR\cdot QS\cdot\sin 30^\circ\approx\frac12\cdot 24.25\cdot 8\cdot 0.5\approx 48.5$. הטעות הנפוצה היא להשתמש ב-$PQ$ במקום ב-$QR$ שחושב בשלב הראשון.
$22.5$ — קודם $BC=AB\cdot\tan 30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{10}{\sqrt3}$. שטח $BCD$: $S=\frac12\cdot BC\cdot BD\cdot\sin 60^\circ=\frac12\cdot\frac{10}{\sqrt3}\cdot 9\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{90}{4}=22.5$. הטעות הנפוצה היא להשתמש ב-$AB$ במקום ב-$BC$ בנוסחת השטח.
$4$ — $\sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $\frac{\sin 60^\circ}{\cos 30^\circ}=1$. בנוסף $\tan 60^\circ=\sqrt{3}$ ולכן $\tan^2 60^\circ=3$. הסכום: $1+3=4$. טעות נפוצה: לשכוח את האיבר הראשון או לא להעלות בריבוע.
$8.66$ — $\tan 60^\circ = \frac{15}{s}$ — בנוסחה $\tan 60^\circ = \frac{15}{s}$, ולכן $s = \frac{15}{\tan 60^\circ} = \frac{15}{\sqrt{3}} \approx 8.66$.
$53^\circ$ — הניצב שמול הזווית A הוא BC, והצמוד לה הוא AC. $\tan A=\frac{8}{6}\approx1.33\approx\tan53^\circ$, ולכן $A\approx53^\circ$. טעות נפוצה: להפוך בין הניצב הצמוד לניצב שמול הזווית ולקבל $37^\circ$ בטעות.
$35$ — שטח המשולש $= \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot 14\cdot 10\cdot \frac{1}{2} \approx 35$.
$10$ — הגובה הוא הניצב מול $\beta$: מ-$\tan\beta=\frac{4}{3}=\frac{8}{x}$ נובע $x=6$ (הניצב הסמוך). לפי פיתגורס, השוק (היתר) $=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$. טעות נפוצה: לחבר את הניצבים במקום להשתמש במשפט פיתגורס.
$0.6$ — בזוויות חדות משלימות מתקיים $\cos\beta=\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$. לכן $\cos\beta=0.6$. טעות נפוצה: לחשב את $\cos\alpha$ (שהוא $0.8$) במקום $\cos\beta$.
$2$ — $\sin60^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, ולכן $\frac{\sin60^\circ}{\cos30^\circ}=1$. בנוסף $\tan45^\circ=1$. הסכום: $1+1=2$. טעות נפוצה: לחשב את השבר הראשון נכון אך לשכוח להוסיף את $\tan45^\circ$, ולעצור על $1$.
$16.91$ — הגובה הכולל עד לפסגת המגדל: $40\cdot\tan 45^\circ=40.00$ מטר. גובה הגבעה בלבד: $40\cdot\tan 30^\circ\approx 23.09$ מטר. גובה מגדל התצפית עצמו הוא ההפרש: $40.00-23.09\approx 16.91$ מטר. טעות נפוצה: לתת את הגובה הכולל או את גובה הגבעה בלבד, בלי לחסר.
$13.86$ — $\tan 30^\circ = \frac{8}{s}$ — בנוסחה $\tan 30^\circ = \frac{8}{s}$, ולכן $s = \frac{8}{\tan 30^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}} \approx 13.86$.
$17.32$ — מחצית רוחב הבסיס היא הניצב הצמוד לזווית מול גובה האוהל: מחצית הבסיס $=$ גובה $\div \tan$ הזווית, והבסיס המלא כפול מכך. $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, מחצית הבסיס $= 15 \div \sqrt{3} \approx 8.66$, ולכן הבסיס המלא $\approx 17.32$. טעות נפוצה היא לשכוח להכפיל פי שניים ולהשאיר רק את מחצית הבסיס.
$9.9$ — $\sin 45^\circ = \frac{7}{L}$, ולכן $L = \frac{7}{\sin 45^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \approx 9.9$.
$60$ — שטח משולש אחד הוא $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 15\cdot\sin 30^\circ=30$, ושטח המקבילית כולה הוא $8\cdot 15\cdot\sin 30^\circ=60$. טעות נפוצה: לעצור בשלב שטח המשולש ולשכוח להכפיל פעמיים.
$3.46$ — $\tan 60^\circ = \frac{6}{s}$ — בנוסחה $\tan 60^\circ = \frac{6}{s}$, ולכן $s = \frac{6}{\tan 60^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}} \approx 3.46$.