דף עבודה: טריגונומטריה (רמה בינוני)

מתמטיקה · כיתה י"א · 3 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.במשולש שתי צלעות הן $a = 10$ ו- $b = 6$ והזווית הכלואה ביניהן היא $15 0^{\circ}$ . בהינתן ש- $sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , מהו שטח המשולש?
(א) $30$
(ב) $26.1$
(ג) $15$
(ד) $4$
2.מהו הערך של הביטוי $sin^{2} 3 0^{\circ} + cos^{2} 3 0^{\circ}$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{3}{4}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $1$
3.ממגדל שמירה בגובה $22$ מטר נצפית סירה בזווית מורד של $3 0^{\circ}$ . מה המרחק האופקי בין בסיס המגדל לסירה (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $12.70$
(ב) $44$
(ג) $38.11$
(ד) $11$
4.כדור פורח נמצא בגובה $120$ מטר מעל הקרקע. הטייס בכדור רואה מכונית חונה בזווית מורד של $6 0^{\circ}$ . מהו המרחק האופקי בין הכדור הפורח למכונית (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $207.85$
(ב) $240$
(ג) $138.56$
(ד) $69.28$
5.במשולש ישר זווית היתר הוא $c = 12$ והזווית מול הניצב $a$ היא $6 0^{\circ}$ . מהו אורך הניצב $a$ (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $11.39$
(ב) $12.39$
(ג) $10.39$
(ד) $9.39$
6.במשולש ABC ישר זווית ב-C, הניצב BC $= 11$ והזווית $B = 5 5^{\circ}$ . בהינתן ש- $tan 5 5^{\circ} \approx 1.43$ , מהו אורך הניצב AC (הניצב שמול הזווית B), עיגול לשתי ספרות?
(א) $7.69$
(ב) $14.73$
(ג) $15.73$
(ד) $12.43$
7.כבש טעינה למשאית באורך $15$ מטר מונח בזווית של $3 0^{\circ}$ מעל הקרקע. מה גובה הפלטפורמה שאליה מגיע קצה הכבש (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $8.66$
(ב) $30$
(ג) $7.5$
(ד) $12.99$
8.במשולש ישר זווית היתר הוא $c = 14$ וזווית אחת היא $6 0^{\circ}$ . מהו אורך הניצב הצמוד לזווית זו (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $9$
(ב) $6$
(ג) $7$
(ד) $8$
9.במשולש ישר זווית היתר הוא $c = 16$ וזווית אחת היא $4 5^{\circ}$ . מהו אורך הניצב הצמוד לזווית זו (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $13.31$
(ב) $10.31$
(ג) $11.31$
(ד) $12.31$
10.צופה רואה רחפן בזווית הגבהה של $3 0^{\circ}$ . המרחק בקו ישר (האלכסוני) בין הצופה לרחפן הוא $40$ מטר. מה גובה הרחפן מעל הקרקע (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $80.00$
(ב) $20.00$
(ג) $23.09$
(ד) $34.64$
11.במשולש ישר זווית היתר הוא $c = 16$ והזווית מול הניצב $a$ היא $3 0^{\circ}$ . מהו אורך הניצב $a$ (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $10$
(ב) $7$
(ג) $9$
(ד) $8$
12.במשולש ישר זווית היתר הוא $c = 12$ וזווית אחת היא $3 0^{\circ}$ . מהו אורך הניצב הצמוד לזווית זו (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $12.39$
(ב) $9.39$
(ג) $10.39$
(ד) $11.39$
13.על גג בניין שגובהו $22$ מטר מונף דגל על תורן. דני עומד במרחק אופקי של $18$ מטר מבסיס הבניין, ורואה את קצה התורן (כולל הבניין) בזווית הגבהה של $6 0^{\circ}$ . מה גובה התורן בלבד, מעל גג הבניין (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $31.18$
(ב) $22$
(ג) $9.18$
(ד) $15.59$
14.במשולש שתי צלעות הן $a = 10$ ו- $b = 6$ והזווית הכלואה ביניהן היא $3 0^{\circ}$ . מהו שטח המשולש (עיגול לשתי ספרות)?
(א) $21$
(ב) $25$
(ג) $15$
(ד) $17$
15.מהו הערך של $sin^{2} 4 5^{\circ} + cos^{2} 6 0^{\circ}$ ?
(א) $0.75$
(ב) $1.25$
(ג) $0.5$
(ד) $1$

מפתח תשובות

$15$ — $S=\frac12ab\sin C=\frac12\cdot10\cdot6\cdot\frac12=15$. הנוסחה תקפה גם כשהזווית הכלואה קהה.
$1$ — לפי הזהות הטריגונומטרית $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ (הנכונה לכל זווית), הביטוי שווה ל-$1$ ללא תלות בזווית $30^\circ$ הספציפית.
$38.11$ — זווית המורד שווה לזווית ההגבהה מהסירה אל ראש המגדל: $\tan 30^\circ = \frac{22}{d}$, ומכאן $d = \frac{22}{\tan 30^\circ} \approx 38.11$.
$69.28$ — זווית המורד מהכדור שווה לזווית ההגבהה מהמכונית אל הכדור. לכן $\tan 60^\circ=\frac{120}{d}$, ומכאן $d=\frac{120}{\tan 60^\circ}=\frac{120}{\sqrt{3}}\approx 69.28$.
$10.39$ — $a = c\cdot\sin 60^\circ = 12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 10.39$.
$15.73$ — $\tan B=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC\cdot\tan 55^\circ=11\cdot1.43\approx15.73$.
$7.5$ — הגובה הוא הניצב שמול הזווית, והכבש הוא היתר: גובה $=$ יתר $\times \sin$ הזווית. $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, ולכן $15\times \frac{1}{2} = 7.5$. טעות נפוצה היא להשתמש ב-$\cos 30^\circ$ במקום ב-$\sin 30^\circ$, מה שנותן $12.99$.
$7$ — הניצב הצמוד $= c\cdot\cos 60^\circ = 14\cdot \frac{1}{2} \approx 7$.
$11.31$ — הניצב הצמוד $= c\cdot\cos 45^\circ = 16\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 11.31$.
$20.00$ — המרחק הנתון הוא היתר, לכן הגובה (הניצב מול הזווית) מחושב עם סינוס: $h=40\cdot\sin 30^\circ=40\cdot 0.5=20.00$ מטר.
$8$ — $a = c\cdot\sin 30^\circ = 16\cdot \frac{1}{2} \approx 8$.
$10.39$ — הניצב הצמוד $= c\cdot\cos 30^\circ = 12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 10.39$.
$9.18$ — קודם מוצאים את הגובה הכולל (בניין + תורן): גובה כולל $=$ מרחק אופקי $\times \tan$ הזווית $= 18\times \sqrt{3} \approx 31.18$. גובה התורן בלבד הוא ההפרש מגובה הבניין: $31.18 - 22 \approx 9.18$.
$15$ — שטח $= \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \frac{1}{2} \approx 15$.
$0.75$ — הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ תקפה רק כאשר מדובר באותה זווית בשני האיברים. כאן הזוויות שונות, ולכן מציבים כל ערך בנפרד: $\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ולכן $\sin^2 45^\circ=\frac{1}{2}$, וכן $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$ ולכן $\cos^2 60^\circ=\frac{1}{4}$. הסכום: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=0.75$.