⚡ MathHero · www.geekhero.co.il/mathכיתה י"ב · 3 יח"ל · רמה קשה · 20 שאלות

אלגברה — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

1.מצאו את נקודת החיתוך של הישרים $x + y = 10$ ו- $2 x + y = 16$ , המהווה קודקוד של תחום אפשרי.
(א) $(6, 4)$
(ב) $(4, 6)$
(ג) $(8, 2)$
(ד) $(2, 8)$
2.מערבבים $5$ ליטר תמיסה בריכוז $10%$ עם $15$ ליטר תמיסה בריכוז $50%$ . מה ריכוז התערובת?
(א) $10%$
(ב) $30%$
(ג) $50%$
(ד) $40%$
3.מערבבים $20$ ליטר תמיסה בריכוז $30%$ עם $30$ ליטר תמיסה בריכוז $50%$ . מה ריכוז התערובת?
(א) $30%$
(ב) $40%$
(ג) $50%$
(ד) $42%$
4.מנהל מפעל טוען שאפשר להשיג רווח גבוה יותר מהרווח המקסימלי המתקבל בקודקודי תחום הפתרונות האפשרי, אם רק ייצר לפי נקודה כלשהי בתוך התחום (לא על קודקוד ולא על גבול). האם הטענה נכונה?
(א)נכונה, אך רק כאשר יש יותר משני משתני החלטה בבעיה
(ב)לא נכונה — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שהמקסימום מתקבל דווקא בקודקוד
(ג)נכונה, אך רק אם פונקציית המטרה אינה ליניארית
(ד)נכונה — נקודה פנימית תמיד נותנת ערך גבוה יותר מכל קודקוד
5.מצאו את קודקוד התחום האפשרי המתקבל מחיתוך הישרים $2 x + 3 y = 24$ ו- $4 x + y = 28$ .
(א) $(3, 6)$
(ב) $(6, 4)$
(ג) $(6, 6)$
(ד) $(4, 6)$
6.מערבבים $40$ ליטר תמיסה בריכוז $25%$ עם $10$ ליטר תמיסה בריכוז $75%$ . מה ריכוז התערובת?
(א) $75%$
(ב) $50%$
(ג) $35%$
(ד) $25%$
7.ערך מכונית הוא $$50000$ ויורד מדי שנה ב- $20%$ . מה יהיה הערך אחרי $3$ שנים?
(א) $$40000$
(ב) $$86400$
(ג) $$25600$
(ד) $$20000$
8.מצאו את קודקוד התחום האפשרי המתקבל מחיתוך הישרים $7 x + 4 y = 56$ ו- $x + 2 y = 13$ .
(א) $(6, 3.5)$
(ב) $(7, 3)$
(ג) $(6, 4)$
(ד) $(3.5, 6)$
9.מפעל צעצועים מייצר שני סוגי צעצועים. תחום הפתרונות האפשרי של הבעיה הוא מצולע שקודקודיו הנקודות $(0, 0)$ , $(0, 7)$ , $(6, 5)$ ו- $(9, 0)$ . פונקציית המטרה (הרווח בשקלים) היא $Z = 2 x + 4 y$ . באיזה קודקוד מתקבל הרווח המקסימלי, ומהו ערכו?
(א)בקודקוד $(0, 0)$ , כאשר $Z = 0$
(ב)בקודקוד $(9, 0)$ , כאשר $Z = 18$
(ג)בקודקוד $(0, 7)$ , כאשר $Z = 28$
(ד)בקודקוד $(6, 5)$ , כאשר $Z = 32$
10.מושבת חיידקים מונה $1000$ חיידקים וגדלה מדי שנה ב- $100%$ . כמה חיידקים יהיו אחרי $3$ שנים?
(א) $0$
(ב) $2000$
(ג) $4000$
(ד) $8000$
11.הופקדו $$1000$ בריבית דריבית שנתית של $8%$ . כמה יהיה בחשבון אחרי $3$ שנים?
(א) $$1259.71$
(ב) $$1080$
(ג) $$1240$
(ד) $$1166.4$
12.פועל אחד מסיים עבודה ב- $4$ שעות, השני ב- $12$ שעות. תוך כמה זמן יסיימו ביחד?
(א) $8$ שעות
(ב) $3$ שעות
(ג) $4$ שעות
(ד) $16$ שעות
13.מפעל שוקולד מייצר שתי חבילות מתנה. תחום הפתרונות האפשרי הוא מצולע שקודקודיו $(0, 1)$ , $(0, 6)$ , $(5, 8)$ ו- $(9, 0)$ . פונקציית המטרה (הרווח בשקלים) היא $Z = 4 x + 3 y$ . באיזה קודקוד מתקבל הרווח המקסימלי, ומהו ערכו?
(א)בקודקוד $(5, 8)$ , כאשר $Z = 44$
(ב)בקודקוד $(0, 1)$ , כאשר $Z = 3$
(ג)בקודקוד $(0, 6)$ , כאשר $Z = 18$
(ד)בקודקוד $(9, 0)$ , כאשר $Z = 36$
14.חברת ניקיון בוחרת בין שני סוגי צוותי עבודה. תחום הפתרונות האפשרי הוא משולש שקודקודיו $(1, 2)$ , $(1, 9)$ ו- $(8, 4)$ . פונקציית המטרה (העלות בשקלים) היא $Z = 5 x + y$ . באיזה קודקוד מתקבלת העלות המינימלית, ומהו ערכה?
(א)בקודקוד $(1, 2)$ , כאשר $Z = 7$
(ב)בקודקוד $(1, 9)$ , כאשר $Z = 46$
(ג)בקודקוד $(1, 9)$ , כאשר $Z = 14$
(ד)בקודקוד $(8, 4)$ , כאשר $Z = 44$
15.מוצר עולה $$500$ . נותנים הנחה של $10%$ ואז מוסיפים $17%$ מע"מ. מה המחיר הסופי?
(א) $$585$
(ב) $$500$
(ג) $$535$
(ד) $$526.5$
16.חומר רדיואקטיבי מתפרק לחצי כל $5$ שנים. אם יש $80$ גרם, כמה יישאר אחרי $15$ שנים?
(א) $40$ גרם
(ב) $20$ גרם
(ג) $5$ גרם
(ד) $10$ גרם
17.פועל אחד מסיים עבודה ב- $12$ שעות, השני ב- $4$ שעות. תוך כמה זמן יסיימו ביחד?
(א) $3$ שעות
(ב) $16$ שעות
(ג) $4$ שעות
(ד) $8$ שעות
18.נתונה מערכת האילוצים $2 x + 7 y \leq 42$ , $4 x + y \leq 32$ , $x \geq 0$ , $y \geq 0$ . איזו מהנקודות הבאות מקיימת את כל האילוצים?
(א) $(6, 4)$
(ב) $(3, 7)$
(ג) $(0, 10)$
(ד) $(8, 2)$
19.איזו מהטענות הבאות לגבי מציאת פתרון אופטימלי (מקסימום) בבעיית תכנון ליניארי היא נכונה?
(א)ערך פונקציית המטרה בנקודה כלשהי בתוך התחום (שאינה על הגבול) גדול תמיד מערכה בכל הקודקודים
(ב)אם משנים את מקדמי פונקציית המטרה, מיקום קודקודי תחום הפתרונות האפשרי משתנה בהכרח
(ג)הפתרון האופטימלי מתקבל תמיד בנקודת האמצע של תחום הפתרונות האפשרי
(ד)הפתרון האופטימלי מתקבל תמיד באחד מקודקודי תחום הפתרונות האפשרי
20.ערך מכונית הוא $$120000$ ויורד מדי שנה ב- $10%$ . מה יהיה הערך אחרי $3$ שנים?
(א) $$159720$
(ב) $$84000$
(ג) $$108000$
(ד) $$87480$

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math

פתרונות

$(6,4)$ — מחסרים את המשוואות: $(2x+y)-(x+y)=16-10$, כלומר $x=6$. הצבה במשוואה הראשונה: $6+y=10$, כלומר $y=4$. הנקודה היא $(6,4)$.
$40\%$ — כמות החומר: $5\cdot0.1+15\cdot0.5=8$ ליטר מתוך $20$ ליטר. הריכוז: $\frac{8}{20}\cdot100\%=40\%$.
$42\%$ — כמות החומר: $20\cdot0.3+30\cdot0.5=21$ ליטר מתוך $50$ ליטר. הריכוז: $\frac{21}{50}\cdot100\%=42\%$.
לא נכונה — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שהמקסימום מתקבל דווקא בקודקוד — כאשר פונקציית המטרה ליניארית, ערכה בכל נקודה פנימית בתחום קמור נמוך או שווה לערכה בקודקוד הטוב ביותר — לעולם לא גבוה יותר. לכן הטענה של המנהל אינה נכונה: אין טעם לחפש פתרון אופטימלי בתוך התחום.
$(6,4)$ — מהמשוואה השנייה: $y=28-4x$. הצבה במשוואה הראשונה: $2x+3(28-4x)=24$, כלומר $2x+84-12x=24$, ולכן $-10x=-60$, כלומר $x=6$. לכן $y=28-24=4$. הנקודה היא $(6,4)$.
$35\%$ — כמות החומר: $40\cdot0.25+10\cdot0.75=17.5$ ליטר מתוך $50$ ליטר. הריכוז: $\frac{17.5}{50}\cdot100\%=35\%$.
$\\$25600$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 50000 \cdot (1-0.2)^{3} = 50000\cdot0.512 = 25600$.
$(6,\ 3.5)$ — מהמשוואה השנייה: $x=13-2y$. הצבה במשוואה הראשונה: $7(13-2y)+4y=56$, כלומר $91-14y+4y=56$, ולכן $-10y=-35$, כלומר $y=3.5$. לכן $x=13-7=6$. הנקודה היא $(6,\ 3.5)$.
בקודקוד $(6,5)$, כאשר $Z=32$ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to Z=0$; $(0,7)\to Z=28$; $(6,5)\to Z=2\cdot6+4\cdot5=12+20=32$; $(9,0)\to Z=18$. הערך הגדול ביותר, $32$, מתקבל בקודקוד $(6,5)$.
$8000$ — גדילה מעריכית: $K(1+p)^n = 1000\cdot(1+1)^{3} = 1000\cdot8 = 8000$.
$\\$1259.71$ — $K(1+p)^n = 1000 \cdot (1+0.08)^{3} = 1000 \cdot 1.259712 \approx 1259.71$.
$3$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $3$ שעות.
בקודקוד $(5,8)$, כאשר $Z=44$ — מציבים בכל קודקוד: $(0,1)\to3$; $(0,6)\to18$; $(5,8)\to20+24=44$; $(9,0)\to36$. המקסימום, $44$, מתקבל בקודקוד $(5,8)$ — למרות שהקודקוד $(9,0)$ בעל $x$ הגדול ביותר, הוא אינו נותן את התוצאה הטובה ביותר.
בקודקוד $(1,2)$, כאשר $Z=7$ — מציבים בכל קודקוד: $(1,2)\to5\cdot1+2=7$; $(1,9)\to5+9=14$; $(8,4)\to40+4=44$. העלות המינימלית, $7$, מתקבלת בקודקוד $(1,2)$.
$\\$526.5$ — $500 \cdot 0.9 = 450$, ואז $450 \cdot 1.17 = 526.5$.
$10$ גרם — כל $5$ שנים כפול $\frac{1}{2}$. $15$ שנים הן $3$ מחזורים: $80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 80 \cdot \frac{1}{8} = 10$.
$3$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $3$ שעות.
$(6,4)$ — עבור $(6,4)$: $2x+7y=40\le42$, $4x+y=28\le32$ - שני האילוצים מתקיימים. עבור $(8,2)$: $4x+y=34>32$. עבור $(3,7)$: $2x+7y=55>42$. עבור $(0,10)$: $2x+7y=70>42$.
הפתרון האופטימלי מתקבל תמיד באחד מקודקודי תחום הפתרונות האפשרי — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שכאשר פונקציית המטרה ליניארית והתחום קמור וחסום, הערך המקסימלי (או המינימלי) מתקבל תמיד באחד מקודקודי התחום — לא בפנים התחום ולא בהכרח באמצעו. תחום הפתרונות האפשרי נקבע על ידי האילוצים בלבד, ואינו תלוי במקדמי פונקציית המטרה.
$\\$87480$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 120000 \cdot (1-0.1)^{3} = 120000\cdot0.729 = 87480$.