חדו״א — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $6$ — שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה. $f'(x)=2x$, ולכן השיפוע הוא $f'(3)=6$.
2. $2x$ — גוזרים כל איבר לפי $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$; קבוע מתאפס. $f'(x)=2x$.
3. $(0,\,-8)$ — מציבים $x=0$: $f(0)=-8$.
4. $8$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=x^{3}$. לפי הנוסחה $\int_{0}^{2}f=F(2)-F(0)=8$.
5. $3x^{2}-6$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=3x^{2}-6$.
6. $x=-1$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=2x+2$. פתרון: $x=-1$.
7. $3x^{2}+2x+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $3x^{2}+2x+C$.
8. $5$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=4x-3$. מציבים $x=2$: $f'(2)=5$.
9. $-2$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=8x-2$. מציבים $x=0$: $f'(0)=-2$.
10. $15x^{2}$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $5\cdot3=15$, ולכן $f'(x)=15x^{2}$.
11. $11$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=2x+5$. מציבים $x=3$: $f'(3)=11$.
12. $x=-3$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=2x+6$. פתרון: $x=-3$.
13. יורדת בכל תחום ההגדרה — כיוון העלייה$/$ירידה של פונקציה קווית נקבע לפי השיפוע. כאן השיפוע −1 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת.
14. $9$ — השטח שווה לאינטגרל המסוים $\int_{0}^{3}f\,dx$. הפונקציה הקדומה $F(x)=x^{2}$, והשטח הוא $F(3)-F(0)=9$.
15. $2x+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $2x+C$.
16. $4x^{3}$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $1\cdot4=4$, ולכן $f'(x)=4x^{3}$.
17. יורדת בכל תחום ההגדרה — כיוון העלייה$/$ירידה של פונקציה קווית נקבע לפי השיפוע. כאן השיפוע −1 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת.
18. $6$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=2x$. לפי הנוסחה $\int_{1}^{4}f=F(4)-F(1)=6$.
19. $(0,\,7)$ — חיתוך עם ציר $y$ מתקבל בהצבת $x=0$: $f(0)=7$.
20. $4x^{2}+C$ — לפי $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$: $4x^{2}+C$.