דף עבודה: חדו״א

מפתח תשובות

1. $36$ — נסמן צלע $x$ והשנייה $12-x$ (כי $2x+2y=24$). השטח $S(x)=x(12-x)=12x-x^2$. גוזרים: $S'(x)=12-2x=0$ ולכן $x=6$ (ריבוע). השטח המקסימלי $6\cdot6=36$.
2. $x=-3,\ x=-2$ — פותרים $f(x)=0$, כלומר $x^{2}+5x+6=0$. הפתרונות הם $x=-3$ ו-$x=-2$.
3. $2x^{2}+2x^{3}+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $2x^{2}+2x^{3}+C$.
4. מינימום בערך −4 — מכיוון ש-$a = 2$ חיובי, לפרבולה יש מינימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = 0, y = -4$.
5. מינימום — מקדם $x^2$ הוא $1$. כאשר המקדם חיובי, הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ולכן נקודת הקיצון היא מינימום.
6. $x=0,\ x=4$ — פותרים $f(x)=0$. הפתרונות: $x=0$ ו-$x=4$.
7. 2 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 2x + 2$. נציב $x = 0: f '(0) = 2 \cdot 1 \cdot (0) + 2 = 2$.
8. $x=3,\ x=4$ — פותרים $f(x)=0$, כלומר $x^{2}-7x+12=0$. הפתרונות הם $x=3$ ו-$x=4$.
9. −14 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 4x - 2$. נציב $x = -3$: $f '(-3) = 4 \cdot (-3) - 2 = -12 - 2 = -14$.
10. $x^{5}+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $x^{5}+C$.
11. $y=3x-1$ — נקודת ההשקה: $f(1)=2$. השיפוע: $f'(x)=2x+1$ ולכן $m=f'(1)=3$. המשיק: $y-2=3(x-1)$, כלומר $y=3x-1$.
12. $x=2$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=2x-4$. פתרון: $x=2$.
13. $20$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=6x^{2}-2x$. מציבים $x=2$: $f'(2)=20$.
14. $3x^{3}+C$ — לפי $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$: $3x^{3}+C$.
15. $12x$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=12x$.