חדו״א — כיתה י"ב · 3 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y=3x-1$ — נקודת ההשקה: $f(1)=2$. השיפוע: $f'(x)=2x+1$ ולכן $m=f'(1)=3$. המשיק: $y-2=3(x-1)$, כלומר $y=3x-1$.
2. $x=5$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=2x-10$. פתרון: $x=5$.
3. $(0,\,7)$ — חיתוך עם ציר $y$ מתקבל בהצבת $x=0$: $f(0)=7$.
4. $12$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=x^{3}+x^{2}$. לפי הנוסחה $\int_{0}^{2}f=F(2)-F(0)=12$.
5. $42$ — פונקציה קדומה $F(x)=2x^{2}$. $F(5)-F(2)=42$.
6. $450$ — נסמן את הצלעות הניצבות לקיר $x$ ואת המקבילה לקיר $y$. אז $2x+y=60$, כלומר $y=60-2x$. השטח $S(x)=x(60-2x)=60x-2x^2$. גוזרים: $S'(x)=60-4x=0$, $x=15$, $y=30$. השטח המקסימלי $450$.
7. $1$ — תחילה $f'(x)=0$ נותן $x=1$. מציבים בפונקציה: $f(1)=1$.
8. $9x^{2}-4x+5$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=9x^{2}-4x+5$.
9. $8$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=x^{3}$. לפי הנוסחה $\int_{0}^{2}f=F(2)-F(0)=8$.
10. $f '(x) = 6x - 2$ — נגזרת של $ax^{2}$ היא 2ax, נגזרת של bx היא b, ונגזרת של קבוע היא 0. לכן $f '(x) = 2 \cdot 3x + -2 = 6x - 2$.
11. מקסימום בערך 1 — מכיוון ש-$a = -2$ שלילי, לפרבולה יש מקסימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = 1, y = 1$. המסיח "מקסימום בערך 2" מתאים למי שמחשב בטעות $y = -2(1)^2 + 4(1) - 1 + 1 = 2$ או מפספס את ה-$-1$ בנוסחה.
12. $200$ — נסמן את הצלעות הניצבות לקיר $x$ ואת המקבילה לקיר $y$. אז $2x+y=40$, כלומר $y=40-2x$. השטח $S(x)=x(40-2x)=40x-2x^2$. גוזרים: $S'(x)=40-4x=0$, $x=10$, $y=20$. השטח המקסימלי $200$.
13. $14x-2$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=14x-2$.
14. עולה — $f'(x)=3x^{2}-3$ ולכן $f'(2)=9$. כיוון ש-$f'(2)>0$, הפונקציה עולה שם.
15. 2 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 2x + 2$. נציב $x = 0: f '(0) = 2 \cdot 1 \cdot (0) + 2 = 2$.
16. $f '(x) = 4x + 1$ — נגזרת של $ax^{2}$ היא 2ax, נגזרת של bx היא b, ונגזרת של קבוע היא 0. לכן $f '(x) = 2 \cdot 2x + 1 = 4x + 1$.
17. $x=-1,\ x=1$ — $f'(x)=3x^{2}-3$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-1$ ו-$x=1$.
18. $x = -1$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f '(x) = 0$. הנגזרת: $f '(x) = 4x + 4$. נפתור $4x + 4 = 0$ ומקבלים $x = -1$.
19. $225$ — נסמן צלע $x$ והשנייה $30-x$ (כי $2x+2y=60$). השטח $S(x)=x(30-x)=30x-x^2$. גוזרים: $S'(x)=30-2x=0$ ולכן $x=15$ (ריבוע). השטח המקסימלי $15\cdot15=225$.
20. מינימום בערך −4 — מכיוון ש-$a = 2$ חיובי, לפרבולה יש מינימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = 0, y = -4$.