חדו״א — כיתה י"ב · 3 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $2x^{3}+x^{2}-x+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $2x^{3}+x^{2}-x+C$.
2. −14 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 4x - 2$. נציב $x = -3: f '(-3) = 2 \cdot 2 \cdot (-3) + -2 = -14$.
3. $x=-2,\ x=3$ — פותרים $f(x)=0$, כלומר $x^{2}-x-6=0$. הפתרונות הם $x=-2$ ו-$x=3$.
4. מקסימום בערך 1 — מכיוון ש-$a = -2$ שלילי, לפרבולה יש מקסימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = 1, y = 1$. המסיח "מקסימום בערך 2" מתאים למי שמחשב בטעות $y = -2(1)^2 + 4(1) - 1 + 1 = 2$ או מפספס את ה-$-1$ בנוסחה.
5. $x^{5}+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $x^{5}+C$.
6. $y=4x-9$ — נקודת ההשקה: $f(3)=3$. השיפוע: $f'(x)=2x-2$ ולכן $m=f'(3)=4$. המשיק: $y-3=4(x-3)$, כלומר $y=4x-9$.
7. $f '(x) = 4x + 1$ — נגזרת של $ax^{2}$ היא 2ax, נגזרת של bx היא b, ונגזרת של קבוע היא 0. לכן $f '(x) = 2 \cdot 2x + 1 = 4x + 1$.
8. $x^{3}+2x^{2}+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $x^{3}+2x^{2}+C$.
9. עולה — $f'(x)=-2x+2$ ולכן $f'(0)=2$. כיוון ש-$f'(0)>0$, הפונקציה עולה שם.
10. $x=0,\ x=4$ — פותרים $f(x)=0$. הפתרונות: $x=0$ ו-$x=4$.
11. $100$ — נסמן צלע $x$ והשנייה $20-x$ (כי $2x+2y=40$). השטח $S(x)=x(20-x)=20x-x^2$. גוזרים: $S'(x)=20-2x=0$ ולכן $x=10$ (ריבוע). השטח המקסימלי $10\cdot10=100$.
12. כן, הנקודה על הגרף — מציבים $x=3$: $f(3)=3$. מכיוון ש-$3=3$, הנקודה אכן על הגרף.
13. $1$ — השטח שווה לאינטגרל המסוים $\int_{0}^{1}f\,dx$. הפונקציה הקדומה $F(x)=x^{3}$, והשטח הוא $F(1)-F(0)=1$.
14. מקסימום בערך 1 — מכיוון ש-$a = -1$ שלילי, לפרבולה יש מקסימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = 1, y = 1$.
15. $x<-2$ — $f'(x)=-2x-4$. הפונקציה עולה כאשר $f'(x)>0$. עבור פרבולה זו ($a=-1$) התחום העולה הוא $x<-2$.
16. $15$ — פונקציה קדומה $F(x)=x^{2}$. $F(4)-F(1)=15$.
17. 2 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 2x + 2$. נציב $x = 0: f '(0) = 2 \cdot 1 \cdot (0) + 2 = 2$.
18. $1$ — תחילה $f'(x)=0$ נותן $x=1$. מציבים בפונקציה: $f(1)=1$.
19. $42$ — פונקציה קדומה $F(x)=2x^{2}$. $F(5)-F(2)=42$.
20. $6$ — השיפוע הוא ערך הנגזרת בנקודה: $f'(x)=6x$, ולכן $f'(1)=6$.