דף עבודה: חדו״א (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה י"ב · 3 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.מהו השטח הכלוא בין הגרף של $f (x) = x^{2} + 2 x$ , ציר ה- $x$ , והישרים $x = 0$ ו- $x = 3$ (הפונקציה חיובית בתחום)?
(א) $- 18$
(ב) $20$
(ג) $9$
(ד) $18$
2.לפונקציה $y = - 2 x^{2} + 5$ יש ערך קיצון. מהו סוג הקיצון וערכו?
y = -2x^{2} + 5
(א)מינימום בערך 5
(ב)מקסימום בערך 0
(ג)מקסימום בערך 5
(ד)מקסימום בערך −5
3.חשבו $\int_{0}^{3} (x^{2}) d x$ .
(א) $11$
(ב) $- 9$
(ג) $14$
(ד) $9$
4.מהו שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f (x) = x^{2} + x + 4$ בנקודה שבה $x = 0$ ?
f(x) = x^{2} + x + 4
(א)−1
(ב)1
(ג)4
(ד)2
5.סכום שני מספרים הוא $24$ . מהי מכפלתם המקסימלית?
(א) $144$
(ב) $136$
(ג) $12$
(ד) $24$
6.באיזה ערך x מקבלת הפונקציה $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ את נקודת הקיצון שלה?
f(x) = x^{2} - 2x + 1
(א) $x = - 1$
(ב) $x = 2$
(ג) $x = - 2$
(ד) $x = 1$
7.באיזה ערך x מקבלת הפונקציה $f (x) = - 2 x^{2} - 8 x$ את נקודת הקיצון שלה?
f(x) = -2x^{2} - 8x
(א) $x = - 8$
(ב) $x = - 2$
(ג) $x = 2$
(ד) $x = - 1$
8.גזרו את $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2}$ .
f(x) = x^{4}-4x^{3}+3x^{2}
(א) $4 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$
(ב) $4 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x + 2$
(ג) $4 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x$
(ד) $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$
9.מהו שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 2$ בנקודה שבה $x = - 3$ ?
f(x) = 2x^{2} + 3x - 2
(א)−8
(ב)9
(ג)7
(ד)−9
10.גזרו את הפונקציה $f (x) = x^{5} - x^{3}$ .
f(x) = x^{5}-x^{3}
(א) $5 x^{4} - 3 x^{2}$
(ב) $5 x^{5} - 3 x^{3}$
(ג) $5 x^{4} - 3 x^{2} + 3$
(ד) $x^{4} - x^{2}$
11.מצאו את משוואת המשיק לגרף $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ בנקודה שבה $x = - 1$ .
f(x) = x^{2}+2x+1
(א) $y = 0 x$
(ב) $y = 0 x + 1$
(ג) $y = 0 x + 2$
(ד) $y = 1 x$
12.היקף מלבן הוא $80$ ס"מ. מהו השטח המקסימלי האפשרי של המלבן (בסמ"ר)?
(א) $80$
(ב) $20$
(ג) $420$
(ד) $400$
13.חקלאי גודר מגרש מלבני בעזרת $60$ מטר גדר, כאשר אחד הצדדים צמוד לקיר ואינו דורש גדר. מהו השטח המקסימלי (במ"ר)?
(א) $450$
(ב) $30$
(ג) $15$
(ד) $400$
14.היקף מלבן הוא $36$ ס"מ. מהו שטחו המקסימלי (בסמ"ר)?
(א) $36$
(ב) $9$
(ג) $81$
(ד) $93$
15.באיזה ערך x מקבלת הפונקציה $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 3$ את נקודת הקיצון שלה?
f(x) = 2x^{2} + 4x + 3
(א) $x = 0$
(ב) $x = 4$
(ג) $x = - 1$
(ד) $x = 1$

מפתח תשובות

$18$ — השטח שווה לאינטגרל המסוים $\int_{0}^{3}f\,dx$. הפונקציה הקדומה $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$, והשטח הוא $F(3)-F(0)=18$.
מקסימום בערך 5 — מכיוון ש-$a = -2$ שלילי, לפרבולה יש מקסימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = 0, y = 5$.
$9$ — פונקציה קדומה $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}$. $F(3)-F(0)=9$.
1 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 2x + 1$. נציב $x = 0: f '(0) = 2 \cdot 1 \cdot (0) + 1 = 1$.
$144$ — סמן $x$ ו-$24-x$. $P(x)=24x-x^2$, $P'(x)=24-2x=0$, $x=12$, מכפלה $144$.
$x = 1$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f '(x) = 0$. הנגזרת: $f '(x) = 2x - 2$. נפתור $2x - 2 = 0$ ומקבלים $x = 1$.
$x = -2$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f '(x) = 0$. הנגזרת: $f '(x) = -4x - 8$. נפתור $-4x - 8 = 0$ ומקבלים $x = -2$.
$4x^{3}-12x^{2}+6x$ — גוזרים כל איבר לפי $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$; קבוע מתאפס. $f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+6x$.
−9 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 4x + 3$. נציב $x = -3: f '(-3) = 2 \cdot 2 \cdot (-3) + 3 = -9$.
$5x^{4}-3x^{2}$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=5x^{4}-3x^{2}$.
$y=0x$ — נקודת ההשקה: $f(-1)=0$. השיפוע: $f'(x)=2x+2$ ולכן $m=f'(-1)=0$. המשיק: $y-0=0(x--1)$, כלומר $y=0x$.
$400$ — נסמן צלע $x$ והשנייה $40-x$ (כי $2x+2y=80$). השטח $S(x)=x(40-x)=40x-x^2$. גוזרים: $S'(x)=40-2x=0$ ולכן $x=20$ (ריבוע). השטח המקסימלי $20\cdot20=400$.
$450$ — נסמן את הצלעות הניצבות לקיר $x$ ואת המקבילה לקיר $y$. אז $2x+y=60$, כלומר $y=60-2x$. השטח $S(x)=x(60-2x)=60x-2x^2$. גוזרים: $S'(x)=60-4x=0$, $x=15$, $y=30$. השטח המקסימלי $450$.
$81$ — סמן צלע $x$, השנייה $18-x$. $S(x)=18x-x^2$, $S'(x)=18-2x=0$, $x=9$ (ריבוע), שטח $81$.
$x = -1$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f '(x) = 0$. הנגזרת: $f '(x) = 4x + 4$. נפתור $4x + 4 = 0$ ומקבלים $x = -1$.