גיאומטריה — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $12$ — שורה אחורית: $2+2+0=4$. שורה אמצעית: $1+0+3=4$. שורה קדמית: $2+1+1=4$. סכום כולל: $4+4+4=12$.
2. למבנה א', בקובייה אחת — מבנה א': $2+2+1+0+1+3=9$. מבנה ב': $1+0+2+3+2+0=8$. ההפרש: $9-8=1$, כלומר למבנה א' יש קובייה אחת יותר.
3. $4\sqrt{3}$ — שטח משולש שווה־צלעות: $\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot16=4\sqrt{3}$ סמ"ר.
4. $1\sqrt{3}$ — שטח משולש שווה־צלעות: $\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot4=1\sqrt{3}$ סמ"ר.
5. $56$ — מספר הקוביות: $2+0+1+1+2+1=7$. נפח קובייה בודדת: $2^3=8$ סמ"ק. נפח כולל: $7\times8=56$ סמ"ק.
6. $10\sqrt{2}$ — אלכסון הריבוע לפי פיתגורס: $\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{2\cdot10^2}=10\sqrt{2}$ ס"מ.
7. $64$ — מספר הקוביות: $1+0+2+2+1+0+0+1+1=8$. נפח קובייה בודדת: $2^3=8$ סמ"ק. נפח כולל: $8\times8=64$ סמ"ק.
8. $3$ — מבט מלפנים נוכחי: עמודה1 $\max(1,0)=1$, עמודה2 $\max(1,2)=2$, עמודה3 $\max(2,0)=2$, כלומר $1,2,2$. היעד $3,2,3$. הפרשים: עמודה1: $3-1=2$, עמודה2: $0$, עמודה3: $3-2=1$. סה"כ: $2+1=3$.
9. $2$ — מבט מלפנים נוכחי של מבנה א': עמודה1 $\max(1,2)=2$, עמודה2 $\max(2,1)=2$, עמודה3 $\max(0,3)=3$, כלומר $2,2,3$. היעד הוא $3,2,4$. הפרשים: עמודה1: $3-2=1$, עמודה2: $2-2=0$, עמודה3: $4-3=1$. סה"כ קוביות להוספה: $1+0+1=2$.
10. $17$ — הגובה המקסימלי הקיים הוא $3$ (עמודה 2, שורה אמצעית). תיבה מלאה $3\times3$ בגובה $3$ מכילה $3\times3\times3=27$ קוביות. סכום הקוביות הקיימות: $2+0+1+1+3+0+0+1+2=10$. להשלמה: $27-10=17$.
11. $2,3,2$ — שורה קדמית $1,0,2$: מקסימום $=2$. שורה אמצעית $3,1,0$: מקסימום $=3$. שורה אחורית $0,2,1$: מקסימום $=2$. לפי הסדר קדמי-אמצעי-אחורי: $2,3,2$.
12. למבנה ב', בקובייה אחת — מבנה א': $3+0+2+1+2+1=9$. מבנה ב': $0+4+1+2+0+3=10$. ההפרש: $10-9=1$, כלומר למבנה ב' יש קובייה אחת יותר.
13. $12$ — סוכמים את כל תשעת המספרים: שורה אחורית $1+0+2=3$, שורה אמצעית $2+3+1=6$, שורה קדמית $0+1+2=3$. הסכום הכולל $3+6+3=12$.
14. $3$ — המשבצות עם הערך $2$ הן: המשבצת השלישית בשורה האחורית, המשבצת הראשונה בשורה האמצעית, והמשבצת השלישית בשורה הקדמית — סך הכול $3$ משבצות.
15. $3,2,2$ — לכל עמודה בודקים את המקסימום בין שלוש השורות: עמודה 1: $\max(0,3,1)=3$. עמודה 2: $\max(2,1,0)=2$. עמודה 3: $\max(1,0,2)=2$. לכן מבט מלפנים: $3,2,2$.
16. $9\sqrt{3}$ — שטח משולש שווה־צלעות: $\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot36=9\sqrt{3}$ סמ"ר.
17. $7\sqrt{2}$ — אלכסון הריבוע לפי פיתגורס: $\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{2\cdot7^2}=7\sqrt{2}$ ס"מ.
18. $5$ — ברשת יש $6$ משבצות, ורק משבצת אחת ($0$ בשורה האחורית) ריקה. לכן במבט מלמעלה נראות $6-1=5$ משבצות.
19. $5\sqrt{2}$ — אלכסון הריבוע לפי פיתגורס: $\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{2\cdot5^2}=5\sqrt{2}$ ס"מ.
20. $80$ — מספר הקוביות: $0+2+1+1+0+3+2+1+0=10$. נפח קובייה בודדת: $2^3=8$ סמ"ק. נפח כולל: $10\times8=80$ סמ"ק.