טריגונומטריה — כיתה י"ב · 3 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $5.66$ מטר — הגובה מול הזווית, הסולם הוא היתר. הסינוס הוא היחס בין הגובה לסולם: $\sin 45°=\frac{5.66}{8}$, לכן גובה $=8\cdot \sin 45°=5.66$ מטר.
2. $\frac{3}{4}$ — $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$.
3. $\frac{5}{12}$ — טנגנס הזווית הוא הניצב שמולה חלקי הניצב הצמוד: $\tan A=\dfrac{5}{12}=\frac{5}{12}$.
4. $\frac{3}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$: $\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{3}{5}$ (חיובי כי $\alpha$ חדה).
5. $\sin\alpha$ — $\tan\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$.
6. $\frac{8}{15}$ — טנגנס הזווית הוא הניצב שמולה חלקי הניצב הצמוד: $\tan A=\dfrac{8}{15}=\frac{8}{15}$.
7. $8.66$ — הניצב הצמוד לזווית שווה ליתר כפול הקוסינוס: $10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot 0.87 = 8.66$.
8. $0$ — זהו ערך מיוחד ידוע: $\cos 90^\circ=0$.
9. $45°$ ו-$45°$ — כאשר הניצבים שווים $\tan \alpha = \frac{a}{a}=1$, לכן $\alpha=45°$, וגם הזווית השנייה $45°$.
10. $5$ — הניצב הצמוד לזווית שווה ליתר כפול הקוסינוס: $10 \cdot \cos 60° = 10 \cdot 0.5 = 5$.
11. $8.66$ — הניצב שמול הזווית שווה ליתר כפול הסינוס: $10 \cdot \sin 60° = 10 \cdot 0.87 = 8.66$.
12. $40$ מטר — הגובה והמרחק האופקי הם הניצבים, והטנגנס הוא היחס בין הגובה למרחק: $\tan 45°=\frac{40}{40}$, לכן גובה $=40\cdot \tan 45°=40$ מטר.
13. $4$ — לפי משפט פיתגורס $b=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$.
14. $15$ — לפי משפט פיתגורס $b=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$.
15. $30°$ — $\sin \alpha=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$, לכן $\alpha=30°$.
16. $0$ — זהו ערך מיוחד ידוע: $\sin 0^\circ=0$.
17. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — זהו ערך מיוחד ידוע: $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
18. $70°$ — זוויות הבסיס שוות: $\frac{180°-40°}{2}=70°$.
19. $\frac{3}{5}$ — $\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$.
20. $\frac{1}{2}$ — זהו ערך מיוחד ידוע: $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$.