דף עבודה: טריגונומטריה

מפתח תשובות

1. $4$ — לפי משפט פיתגורס $b=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$.
2. $6.93$ — הטנגנס הוא היחס בין הניצב שמול הזווית לניצב הצמוד, לכן הניצב שמול הזווית $= 12 \cdot \tan 30° = 12 \cdot 0.58 = 6.93$.
3. $40$ מטר — הגובה והמרחק האופקי הם הניצבים, והטנגנס הוא היחס ביניהם: $\frac{\text{גובה}}{40}=\tan 45°$. מכיוון ש-$\tan 45°=1$, גובה $=40\cdot 1=40$ מטר.
4. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — זהו ערך מיוחד ידוע: $\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. $29$ — לפי משפט פיתגורס $c=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$.
6. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ניקח משולש שווה-צלעות שכל צלעותיו באורך 2, ונעביר חוצה זווית מקודקוד אחד אל הצלע הנגדית. בגלל הסימטריה, חוצה הזווית הזה הוא גם התיכון וגם הגובה לצלע הנגדית, ולכן מחלק אותה לשני חלקים שווים באורך 1, ומחלק את הזווית 60° לשתי זוויות של 30°. כך מתקבל משולש ישר-זווית עם זווית 30°, ניצב אחד באורך 1 (חצי מהצלע) ויתר באורך 2. לפי משפט פיתגורס הניצב השני (הגובה) שווה ל-$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. לכן $\cos 30^\circ=\dfrac{\text{ניצב סמוך}}{\text{יתר}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
7. $9$ — הטנגנס הוא היחס בין הניצב שמול הזווית לניצב הצמוד, לכן הניצב שמול הזווית $= 9 \cdot \tan 45° = 9 \cdot 1 = 9$.
8. $\frac{5}{12}$ — טנגנס הזווית הוא הניצב שמולה חלקי הניצב הצמוד: $\tan A=\dfrac{5}{12}=\frac{5}{12}$.
9. $\frac{16}{20}$ — קוסינוס הוא היחס בין הניצב הצמוד לזווית ליתר: $\cos\alpha=\frac{16}{20}$.
10. $5.66$ — הניצב שמול הזווית שווה ליתר כפול הסינוס: $8 \cdot \sin 45° = 8 \cdot 0.71 = 5.66$.
11. $\frac{15}{17}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$: $\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=\frac{15}{17}$ (חיובי כי $\alpha$ חדה).
12. $5.66$ מטר — הגובה מול הזווית, הסולם הוא היתר. הסינוס הוא היחס בין הגובה לסולם: $\sin 45°=\frac{5.66}{8}$, לכן גובה $=8\cdot \sin 45°=5.66$ מטר.
13. $80°$ — $180°-30°-70°=80°$.
14. $1$ — על מעגל היחידה, לזווית $90°$ מתאימה הנקודה $(0,1)$, ו-$\sin$ שווה לקואורדינטת ה-$y$ - כלומר $\sin 90° = 1$. זהו ערך של זווית מיוחדת שכדאי לזכור בעל-פה.
15. $\tan\alpha$ — לפי ההגדרה $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.