טריגונומטריה — כיתה י"ב · 3 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{3}{4}$ — טנגנס הזווית הוא הניצב שמולה חלקי הניצב הצמוד: $\tan A=\dfrac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
2. $70°$ — זוויות הבסיס שוות: $\frac{180°-40°}{2}=70°$.
3. $\frac{1}{2}$ — הערך של $\sin 30°$ הוא $\frac{1}{2}$. זהו ערך של זווית מיוחדת שכדאי לזכור בעל-פה.
4. $10.39$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \sin 60°=10.39$.
5. $1$ — זהו ערך מיוחד ידוע: $\sin 90^\circ=1$.
6. $45°$ ו-$45°$ — כאשר הניצבים שווים $\tan \alpha = \frac{a}{a}=1$, לכן $\alpha=45°$, וגם הזווית השנייה $45°$.
7. $\sqrt{3}$ — הערך של $\tan 60°$ הוא $\sqrt{3}$. זהו ערך של זווית מיוחדת שכדאי לזכור בעל-פה.
8. $20$ — לפי משפט הסינוסים $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, לכן $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot \sin 90°}{\sin 30°}=20$.
9. $\frac{8}{17}$ — $\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^2}=\frac{8}{17}$.
10. $\sin\alpha$ — $\tan\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$.
11. $25$ — לפי משפט פיתגורס $c=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
12. $\frac{3}{4}$ — $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$.
13. $6.08$ — לפי משפט הקוסינוסים $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=4^2+7^2-2\cdot 4\cdot 7\cdot \cos 60°=37$, ולכן $c=6.08$.
14. $\frac{10}{26}$ — סינוס הוא היחס בין הניצב שמול הזווית ליתר: $\sin\alpha=\frac{10}{26}$.
15. $12.73$ — הניצב הצמוד לזווית שווה ליתר כפול הקוסינוס: $18 \cdot \cos 45° = 18 \cdot 0.71 = 12.73$.
16. $5$ — $\frac{b}{\sin B}=10\Rightarrow b=10\cdot\frac{1}{2}=5$.
17. $1$ — $\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$.
18. $11.31$ — הניצב שמול הזווית שווה ליתר כפול הסינוס: $16 \cdot \sin 45° = 16 \cdot 0.71 = 11.31$.
19. $\frac{15}{17}$ — קוסינוס הזווית הוא הניצב הצמוד אליה חלקי היתר: $\cos A=\dfrac{15}{17}=\frac{15}{17}$.
20. $10.61$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\cdot \sin 45°=10.61$.