אלגברה — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. רביע רביעי — קודם מחשבים: $(2+i)(1-i)=2-2i+i-i^2=2-i+1=3-i$. הנקודה המייצגת היא $(3,-1)$: חלק ממשי חיובי וחלק מדומה שלילי — רביע רביעי.
2. $x=3\pm 1i$ — $\Delta=36-40=-4$. $x=\frac{6\pm\sqrt{-4}}{2}=3\pm 1i$.
3. $x=1\pm 4i$ — $\Delta=4-68=-64$. $x=\frac{2\pm\sqrt{-64}}{2}=1\pm 4i$.
4. $z=-2+3i$ או $z=-2-3i$ — הדיסקרימיננטה: $\Delta=4^2-4\cdot1\cdot13=16-52=-36$. מכיוון ש-$\Delta<0$: $\sqrt{\Delta}=\sqrt{-36}=6i$. לכן $z=\frac{-4\pm6i}{2}=-2\pm3i$.
5. $x=5,y=2$ או $x=2,y=5$ — x,y הם שורשי $t^2-7t+10=0$, כלומר 5 ו-2.
6. $2<x<6$ — $(x-2)(x-6)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $2<x<6$.
7. $7+i$ — פותחים סוגריים: $6-2i+3i-i^2 = 6+i-(-1)=6+i+1=7+i$. חשוב לזכור ש-$i^2=-1$.
8. $x=1, x=2$ — $x^2-3x=-2$ ⇐ $x^2-3x+2=0$ ⇐ $(x-1)(x-2)=0$ ⇐ $x=1$ או $x=2$.
9. $z=-1+\sqrt{3}i$ — נכתוב $8=8(\cos0^{\circ}+i\sin0^{\circ})$. השורשים השלישיים הם $z_k=2\left(\cos\frac{0^{\circ}+360^{\circ}k}{3}+i\sin\frac{0^{\circ}+360^{\circ}k}{3}\right)$ עבור $k=0,1,2$, כלומר בזוויות $0^{\circ},120^{\circ},240^{\circ}$: $z_0=2$, $z_1=2(\cos120^{\circ}+i\sin120^{\circ})=-1+\sqrt{3}i$ (רביע שני), $z_2=2(\cos240^{\circ}+i\sin240^{\circ})=-1-\sqrt{3}i$ (רביע שלישי). לכן הפתרון ברביע השני הוא $-1+\sqrt{3}i$.
10. $x=3,y=2$ — $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=1\cdot(x+y)=5$ ⇐ $x+y=5$. עם $x-y=1$: $x=3, y=2$.
11. $x=1\pm 2i$ — דיסקרימיננטה $\Delta=4-20=-16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$.
12. $x=5,y=4$ או $x=4,y=5$ — x,y הם שורשי $t^2-9t+20=0$, כלומר 5 ו-4.
13. $x<-2$ או $x>1$ — המנה חיובית כאשר המונה והמכנה בעלי אותו סימן: שניהם חיוביים ($x>1$) או שניהם שליליים ($x<-2$).
14. $x\leq -4$ או $x\geq 2$ — $|A|\geq a$ ⇐ $A\geq a$ או $A\leq -a$. $x+1\geq 3$ ⇐ $x\geq 2$, או $x+1\leq -3$ ⇐ $x\leq -4$.
15. $x=2\pm 1i$ — $\Delta=16-20=-4$. $x=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}=2\pm 1i$.
16. ציר הממשי (ציר $x$) — מעבר מ-$z=a+bi$ ל-$\bar{z}=a-bi$ משנה רק את סימן החלק המדומה, כלומר משקף את הנקודה ביחס לציר ה-$x$ (הציר הממשי). החלק הממשי $a$ נשאר קבוע.
17. $-4$ — לפי דה-מואבר: $z^4=(\sqrt{2})^4(\cos(4\cdot45^{\circ})+i\sin(4\cdot45^{\circ}))=4(\cos180^{\circ}+i\sin180^{\circ})=4(-1+0)=-4$.
18. $3<x<8$ — $(x-3)(x-8)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $3<x<8$.
19. $x=5$ — $\log[x(x-3)]=1$ ⇐ $x(x-3)=10$ ⇐ $x^2-3x-10=0$ ⇐ $(x-5)(x+2)=0$. $x=-2$ נפסל (תחום הגדרה $x>3$), ולכן $x=5$.
20. $x\leq 2$ או $x\geq 5$ — $(x-2)(x-5)\geq 0$ — חיובי או אפס מחוץ לשורשים 2,5.