דף עבודה: סדרות

מפתח תשובות

1. $825$ — תחילה $a_{15}=a_1+(n-1)d=6+14\cdot 7=104$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{15(6+104)}{2}=825$.
2. $64$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{7}=1\cdot 2^{6}=64$.
3. $224$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=7+7\cdot 6=49$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{8(7+49)}{2}=224$.
4. $4$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{2}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{\frac{1}{2}}=4$.
5. $60$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{9}=4+(9-1)\cdot 7=4+8\cdot 7=60$.
6. $38$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{18}=4+(18-1)\cdot 2=4+17\cdot 2=38$.
7. $484$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=4\cdot\dfrac{3^{5}-1}{3-1}=4\cdot\dfrac{243-1}{2}=484$.
8. $\dfrac{36}{5}$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{6}{1-\frac{1}{6}}=\dfrac{6}{\frac{5}{6}}=\dfrac{36}{5}$.
9. $2$ — נחלק מונה ומכנה ב-$n$: $a_n=\dfrac{8+\frac{4}{n}}{4+\frac{8}{n}}$. כאשר $n\to\infty$ השברים $\frac{4}{n},\frac{8}{n}\to0$, ולכן הגבול הוא $\dfrac{8}{4}=2$.
10. $2$ — נחלק מונה ומכנה ב-$n$: $a_n=\dfrac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}$. כאשר $n\to\infty$ השברים $\frac{1}{n},\frac{2}{n}\to0$, ולכן הגבול הוא $\dfrac{2}{1}=2$.
11. $729$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{6}=3\cdot 3^{5}=729$.
12. $17$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{8}=10+(8-1)\cdot 1=10+7\cdot 1=17$.
13. $3$ — נחלק מונה ומכנה ב-$n$: $a_n=\dfrac{3+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}$. כאשר $n\to\infty$ השברים $\frac{1}{n},\frac{3}{n}\to0$, ולכן הגבול הוא $\dfrac{3}{1}=3$.
14. $5184$ — בריבית דריבית הסכום מתנהג כסדרה הנדסית: $A=P\cdot\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^{t}=3000\cdot 1.2^{3}=5184$ ש"ח.
15. $216$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=4+8\cdot 5=44$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{9(4+44)}{2}=216$.