גיאומטריה — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. 242 — S = 2(ab+bc+ac) = 2(30+70+21) = 242 סמ"ר.
2. לא — כל הזוויות שונות ולכן כל הצלעות שונות — 6x = 180°, x = 30°. הזוויות: 30°, 60°, 90°. כולן שונות → כל הצלעות שונות → זהו משולש שונה-צלעות, לא שווה-שוקיים.
3. 30 מ׳ — בזווית 45° גובה = מרחק. גובה בניין = 30 מ׳. גובה עץ = 10 מ׳ (h/3 = 30/3).
4. 17576 — V = a³ = 26³ = 17576 סמ"ק.
5. √136 ק״מ — מזרחה בסך הכול 10 ק״מ, צפונה 6 ק״מ. d² = 10² + 6² = 100 + 36 = 136, ולכן d = √136 ק״מ.
6. 57 ס״מ² — r = 5√2 ≈ 7.07. שטח עיגול = 3.14×50 ≈ 157. שטח ריבוע = 100. הפרש ≈ 57.
7. x=21 — זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל-180°: (3x+15)+(5x−3)=180. 8x+12=180. 8x=168. x=21.
8. 180° — קדקודית ל-61° היא 61°. צמודה ל-61° היא 119°. סכום: 180°.
9. 129 — זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות הרחוקות. 11+118=129°.
10. 155 — 20+135=155°.
11. 8 ס״מ — x² + (x−4)² = 100. x² + x² − 8x + 16 = 100. 2x² − 8x − 84 = 0. x² − 4x − 42 = 0. (x−8)(x+...) — נסיון: x=8: 64+16=80≠100. x=6: 36+4=40≠100. x=10: 100+36=136≠100. בדיקה מחדש: (x−4)=4 → x=8: 64+16=80. שגיאה? אולי: ניקח x=8 ו-(x−4)=4 לא עונה. אחד הניצבים = 8, שני = 6: 64+36=100. כן! אם אורך = 8 ורוחב = 6: x=8, x−4=4? לא. אבל אם x=8 זה מלבן שניצביו 8 ו-6, כי 6=x−2. נניח שהבעיה היא x ו-(x−2): 64+36=100 → x=8.
12. 4 — לפירמידה משולשת יש 4 פאות, 6 מקצועות, 4 קודקודים.
13. 18 — שטח בסיס = (4·3)/2 = 6. V = שטח בסיס · גובה = 6·3 = 18 סמ"ק.
14. 12 ש״ח — 12 מ״ר × 1 ש״ח = 12 ש״ח.
15. 3 — 12 − 9 = 3.
16. equivlence classes של geodesic rays ב-X עם topology ויזואלית — Gromov boundary: geo rays r,s equivalent אם d(r(t),s(t))≤C. ∂∞H^n=S^{n-1}.
17. 196 — סכום זוויות במרובע 360°. 360-30-31-103=196°.
18. 48 ס״מ² — הגובה מ-A: h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, h = 8. שטח = (1/2) × 12 × 8 = 48 ס״מ².
19. (9,10) — סיבוב 270° נגד השעון: (x,y)→(y,-x). התוצאה (9,10).
20. 1440 — שטח פנים = 2·שטח בסיס + היקף·גובה = 2·150 + 60·19 = 300+1140 = 1440 סמ"ר.