מבחנים מיוחדים — כיתה ח׳ (קשה)

פתרונות

1. 4:25 — יחס שטחים = (יחס דמיון)² = 4:25.
2. 63 — נסמן ab̄ = 10a + b ו-b̄a̅ = 10b + a. המשוואה: 4(10a + b) = 7(10b + a) → 40a + 4b = 70b + 7a → 33a = 66b → a = 2b. עם התנאי הנוסף a+b=9: 2b+b=9 → b=3, a=6, ab̄=63. בדיקה: 63×4=252, 36×7=252 ✓, וגם 6+3=9 ✓. שאר האפשרויות (21,42,84) מקיימות a=2b אך לא את a+b=9.
3. 13 — ראה רמזים לפתרון מלא
4. 27 יחידות רבועות — שלב 1 — קודקוד A: y=2x חוצה y=0 → (0, 0). שלב 2 — קודקוד B: y=−x+9 חוצה y=0 → x=9 → (9, 0). שלב 3 — קודקוד C: 2x = −x+9 → 3x=9 → x=3, y=6 → (3, 6). שלב 4 — שטח: בסיס AB = 9, גובה = 6. S = ½ × 9 × 6 = 27 יחידות רבועות.
5. 24 — 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ⇒ המשולש ישר־זווית בקודקוד A. שטח = (6·8)/2 = 48/2 = 24.
6. y=4x+5 — ישרים מקבילים בעלי אותו שיפוע. שניהם בעלי שיפוע 4.
7. אפס — Δ = 16 − 20 = −4 < 0, לכן אין פתרונות ממשיים.
8. 39 — מכפלת השורשים = 18 וסכומם = k. זוגות שלמים חיוביים שמכפלתם 18: (1,18) → k=19; (2,9) → k=11; (3,6) → k=9. סכום הערכים: 19 + 11 + 9 = 39.
9. y=3x-1 — y=3·2-1=5 ✓. נושאים: גאומטריה אנליטית, ישרים מקבילים.
10. 0.7 — אירועים זרים: P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.4 + 0.3 = 0.7.
11. (2, 5) — משוואים: 2x + 1 = −x + 7 → 3x = 6 → x = 2. הצבה: y = 2·2 + 1 = 5. הנקודה: (2, 5).
12. 40 חולצות, 40 מכנסיים — יהי x=חולצות, y=מכנסיים. x+y=80 ו־90x+150y=9,600. מ־x=80−y: 90(80−y)+150y=9,600 → 7,200−90y+150y=9,600 → 60y=2,400 → y=40. x=40. בדיקה: 90×40+150×40=3,600+6,000=9,600 ✓.
13. 40π — S_מעטפת = 2πrh = 2π·4·5 = 40π.
14. 60/13 — שטח המשולש = (5·12)/2 = 30. אם h הגובה ליתר, אז 30 = (13·h)/2, ולכן h = 60/13.
15. x=7,−3 — x−2 = 5 או x−2 = −5 → x = 7 או x = −3.
16. 6 — √72/√2 = √(72/2) = √36 = 6.
17. 68 — נשתמש בזהות: (a + b)² = a² + 2ab + b². לכן a² + b² = (a + b)² − 2ab = 10² − 2 × 16 = 100 − 32 = 68.
18. 2 שעות 44 דקות — יתר (מרחק חזרה) = √(9²+40²) = √(81+1600) = √1681 = 41 ק״מ. זמן = 41÷15 = 2 + 11/15 שעות = 2 שעות + (11/15)×60 = 2 שעות 44 דקות.
19. 18 — סכום 5 המספרים: 5·12 = 60. סכום 6 המספרים: 6·13 = 78. המספר השישי: 78 − 60 = 18.
20. מטה — מקדם x² שלילי (−1) → פתוחה כלפי מטה.