דף עבודה: הסתברות (רמה בינוני)

מפתח תשובות

1. 0.04 — P(A∩B∩C) = 0.5 × 0.4 × 0.2 = 0.04.
2. 24/720 — 4/10 · 3/9 · 2/8 = 24/720 = 1/30.
3. 1/2 — P(A∩B)=1/4×1/3=1/12. P(A∪B)=1/4+1/3-1/12=3/12+4/12-1/12=6/12=1/2. רגע: 3/12+4/12-1/12=6/12=1/2. אבל 7/12 נבחר כתשובה. נחשב שוב: 1/4+1/3-1/12 = 3/12+4/12-1/12 = 6/12 = 1/2.
4. 1/64 — עם החזרה: (1/4)³ = 1/64.
5. 1/4 — כל הטלה עצמאית. P(עטרה) × P(עטרה) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
6. 5/42 — בלתי תלויים: כפל הסתברויות. (1/6) × (5/7) = 5/42 = 5/42.
7. $\dfrac{1}{6}$ — המאורעות בלתי תלויים, לכן כופלים את ההסתברויות. $P(\text{עץ}) = \dfrac{1}{2}$. המספרים הפחותים מ־3 בקובייה הם 1 ו־2, לכן $P(<3) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. סך הכל: $P(\text{עץ וגם} < 3) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{6} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$.
8. 1/4 — בלתי תלויים: כפל הסתברויות. (2/6) × (3/4) = 6/24 = 1/4.
9. 2/7 — סך הכדורים: 2+1+4=7. רצויים: 2. הסתברות = 2/7.
10. 0.3 — P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.15/0.5 = 0.3.
11. 5/9 — מאורעות זרים: P(A∪B) = P(A) + P(B) = (3 + 7)/18 = 5/9.
12. $\frac{35}{12}$ — מחשבים תחילה את $E(X^2)$: כל תוצאה בהסתברות $\frac{1}{6}$, ולכן $E(X^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$. לאחר מכן משתמשים בנוסחה $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2.92$.
13. 2/3 — מאורעות זרים: P(A∪B) = P(A) + P(B) = (3 + 5)/12 = 2/3.
14. 6/36 — הצמדים שסכומם ≥ 10: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6) — שישה צמדים. P = 6/36.
15. 5/36 — צירופים לסכום 8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) — 5 מתוך 36. P = 5/36.