דף עבודה: אלגברה (רמה קשה)

מפתח תשובות

1. x = ±1 או x = ±3 — x² − 5 = 4 → x² = 9 → x = ±3. או x² − 5 = −4 → x² = 1 → x = ±1.
2. n ≥ 11 — Sₙ = n/2 · (10 + (n−1) · 3) = n(3n + 7)/2 > 200 → 3n² + 7n > 400. פתרון: n ≈ 10.7, ולכן n ≥ 11.
3. פתרון אחד (כפול) — Δ = 36 − 36 = 0. פתרון כפול: x = 3.
4. b = −6, c = 5 — קודקוד ב-x=3: −b/(2)=3 → b=−6. ערך y בקודקוד: 9−18+c=−4 → c=5.
5. 4 — הצבת t = x²: t² − 5t + 4 = 0 → (t−1)(t−4) = 0. t = 1 → x = ±1. t = 4 → x = ±2. סה״כ 4 פתרונות.
6. 4 — השארית = p(1) = 1 − 2 + 5 = 4.
7. t = 4 שניות — h(t) = 0: −5t² + 15t + 20 = 0 → t² − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0 → t = 4 (הפתרון t = −1 נפסל כי הזמן חיובי).
8. 2.5 שעות — A עבד t שעות לבד, אחר כך שניהם 2 שעות. t/6 + 2·(1/6 + 1/8) = 1 → t/6 + 7/12 = 1 → t/6 = 5/12 → t = 2.5. בדיקה: 2.5/6 + 2(1/6+1/8) = 5/12 + 7/12 = 1 ✓.
9. 1/2 — S∞ = a₁/(1−q). 10 = 5/(1−q) ⟹ 1−q = 1/2 ⟹ q = 1/2.
10. (−2, 0) ו-(2, 0) — x²−4=−x²+4, 2x²=8, x²=4, x=±2. y = 4−4 = 0. נקודות: (2,0) ו(−2,0).
11. −8 — לפי משפט השארית: p(−2) = −8 + 12 − 4 = 0. רגע — p(−2) = (−8) + 3(4) − 4 = −8 + 12 − 4 = 0. השארית 0.
12. 8 — האזור הוא משולש עם קודקודים (0,0), (4,0), (0,4). שטח = ½ · 4 · 4 = 8.
13. 6 — S₆ = 12(1 − 1/64) = 12 · 63/64 ≈ 11.81 > 11.8. S₅ = 12 · 31/32 = 11.625 < 11.8. לכן n = 6.
14. 2x/(x² − 4) — מכנה משותף (x − 2)(x + 2) = x² − 4. מונה: (x + 2) + (x − 2) = 2x. תוצאה: 2x/(x² − 4).
15. x = 3 או x = −1/2 — a=2, b=−5, c=−3. מפלט = 25 + 24 = 49. שורשים: (5 ± 7)/4. x = 12/4 = 3, x = −2/4 = −1/2.