⚡ MathHero · www.geekhero.co.il/mathכיתה ט׳ · רמה קשה · 20 שאלות

אלגברה — כיתה ט׳ (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

1.פתרו: |x² − 5| = 4
(א)x = ±1
(ב)x = ±1 או x = ±3
(ג)x = ±2 או x = ±3
(ד)x = ±3
2.בסדרה חשבונית a₁ = 5, d = 3. עבור איזה n מתקיים Sₙ > 200?
(א)n ≥ 12
(ב)n ≥ 10
(ג)n ≥ 11
(ד)n ≥ 13
3.מהו מספר הפתרונות של x² − 6x + 9 = 0?
(א)שני פתרונות שונים
(ב)פתרון אחד (כפול)
(ג)אין פתרון
(ד)אינסוף פתרונות
4.בגרף y = x² + bx + c, קודקוד ב-(3, −4). מה ערכי b ו-c?
y = x²
(א)b = −6, c = −4
(ב)b = −3, c = −4
(ג)b = 6, c = 5
(ד)b = −6, c = 5
5.מהו מספר הפתרונות הממשיים של x⁴ − 5x² + 4 = 0?
(א)4
(ב)0
(ג)1
(ד)2
6.לפי משפט השארית, מהי השארית של p(x) = x³ − 2x + 5 חלקי (x − 1)?
(א)5
(ב)−4
(ג)4
(ד)0
7.גובה מגדל: כדור שנזרק כלפי מעלה ממגדל גובה 20 מ׳ עם מהירות 15 מ/ש. גובה: h(t) = −5t² + 15t + 20. מתי יפגע בקרקע?
(א)t = 5 שניות
(ב)t = 4 שניות
(ג)t = 2 שניות
(ד)t = 3 שניות
8.עבודה משותפת: A מסיים ב־6 שעות, B ב־8 שעות. אחרי כמה שעות עבודה של A בלבד, הצטרף B ויחד סיימו ב־2 שעות נוספות?
(א)3 שעות
(ב)2 שעות
(ג)1 שעה
(ד)2.5 שעות
9.בסדרה גאומטרית a₁ = 5 ו-S∞ = 10 (סדרה אינסופית מתכנסת). מהו q?
(א)1/5
(ב)2
(ג)1/2
(ד)5
10.מצאו נקודות חיתוך: y = x² − 4 ו־y = −x² + 4.
y = x² − 4y = −x² + 4
(א)(√4, 0) ו-(−√4, 0)
(ב)(−2, 0) ו-(2, 0)
(ג)(0, −4) ו-(0, 4)
(ד)(2, 4) ו-(−2, 4)
11.חלקו: (x³ + 3x² − 4) ÷ (x + 2). מהי השארית?
(א)4
(ב)−4
(ג)0
(ד)−8
12.אזור הפתרונות של מערכת אי-שוויונות: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 מהו שטח האזור?
(א)16
(ב)8
(ג)4
(ד)12
13.סדרה הנדסית: a₁ = 6, q = 1/2. S_n = 12(1 − (1/2)ⁿ). לאחר כמה איברים הסכום S_n עולה על 11.8?
(א)5
(ב)6
(ג)7
(ד)4
14.פשטו: 1/(x − 2) + 1/(x + 2) לכמה שאפשר
(א)2x/(x + 2)
(ב)(2x + 4)/(x² − 4)
(ג)2/(x² − 4)
(ד)2x/(x² − 4)
15.פתרו: 2x² − 5x − 3 = 0 (השתמשו בנוסחת השורשים).
(א)x = 3 או x = 1
(ב)x = −3 או x = 1/2
(ג)x = 5 או x = −2
(ד)x = 3 או x = −1/2
16.פתרו: |x² − 4x| = 5.
(א)x = ±5
(ב)x = 5 ו-x = −1 ו-x = 2 ± √9
(ג)x = 5 ו-x = −1 בלבד
(ד)x = 2 ± √9 בלבד
17.גן ילדים מלבני שמחוסה גדר מ-3 צדדים בלבד (צד 4 הוא קיר). אורך החומר 60 מ׳. מה המידות שנותנות שטח מקסימלי?
(א)10 מ׳ × 40 מ׳
(ב)20 מ׳ × 20 מ׳
(ג)15 מ׳ × 30 מ׳
(ד)12 מ׳ × 36 מ׳
18.פתרו: √(2x + 3) + √(x − 1) = √(5x + 4)
(א)x = 0
(ב)x = 3
(ג)x = 5
(ד)x = 1 או x = 5
19.מצאו את מספר הפתרונות של x² + px + 1 = 0 כאשר p = 2.
(א)אין פתרון ממשי
(ב)שני פתרונות שונים
(ג)פתרון יחיד
(ד)אינסוף פתרונות
20.פרקו לגורמים: x⁴ − 1
(א)(x − 1)²(x + 1)²
(ב)(x² + 1)²
(ג)(x⁴ − 1)
(ד)(x² + 1)(x + 1)(x − 1)

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math

פתרונות

x = ±1 או x = ±3 — x² − 5 = 4 → x² = 9 → x = ±3. או x² − 5 = −4 → x² = 1 → x = ±1.
n ≥ 11 — Sₙ = n/2 · (10 + (n−1) · 3) = n(3n + 7)/2 > 200 → 3n² + 7n > 400. פתרון: n ≈ 10.7, ולכן n ≥ 11.
פתרון אחד (כפול) — Δ = 36 − 36 = 0. פתרון כפול: x = 3.
b = −6, c = 5 — קודקוד ב-x=3: −b/(2)=3 → b=−6. ערך y בקודקוד: 9−18+c=−4 → c=5.
4 — הצבת t = x²: t² − 5t + 4 = 0 → (t−1)(t−4) = 0. t = 1 → x = ±1. t = 4 → x = ±2. סה״כ 4 פתרונות.
4 — השארית = p(1) = 1 − 2 + 5 = 4.
t = 4 שניות — h(t) = 0: −5t² + 15t + 20 = 0 → t² − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0 → t = 4 (הפתרון t = −1 נפסל כי הזמן חיובי).
2.5 שעות — A עבד t שעות לבד, אחר כך שניהם 2 שעות. t/6 + 2·(1/6 + 1/8) = 1 → t/6 + 7/12 = 1 → t/6 = 5/12 → t = 2.5. בדיקה: 2.5/6 + 2(1/6+1/8) = 5/12 + 7/12 = 1 ✓.
1/2 — S∞ = a₁/(1−q). 10 = 5/(1−q) ⟹ 1−q = 1/2 ⟹ q = 1/2.
(−2, 0) ו-(2, 0) — x²−4=−x²+4, 2x²=8, x²=4, x=±2. y = 4−4 = 0. נקודות: (2,0) ו(−2,0).
−8 — לפי משפט השארית: p(−2) = −8 + 12 − 4 = 0. רגע — p(−2) = (−8) + 3(4) − 4 = −8 + 12 − 4 = 0. השארית 0.
8 — האזור הוא משולש עם קודקודים (0,0), (4,0), (0,4). שטח = ½ · 4 · 4 = 8.
6 — S₆ = 12(1 − 1/64) = 12 · 63/64 ≈ 11.81 > 11.8. S₅ = 12 · 31/32 = 11.625 < 11.8. לכן n = 6.
2x/(x² − 4) — מכנה משותף (x − 2)(x + 2) = x² − 4. מונה: (x + 2) + (x − 2) = 2x. תוצאה: 2x/(x² − 4).
x = 3 או x = −1/2 — a=2, b=−5, c=−3. מפלט = 25 + 24 = 49. שורשים: (5 ± 7)/4. x = 12/4 = 3, x = −2/4 = −1/2.
x = 5 ו-x = −1 ו-x = 2 ± √9 — מקרה 1: x² − 4x = 5, x² − 4x − 5 = 0, (x − 5)(x + 1) = 0. מקרה 2: x² − 4x = −5, x² − 4x + 5 = 0, Δ = 16 − 20 < 0, אין פתרון. לכן x = 5 ו-x = −1.
15 מ׳ × 30 מ׳ — יהי רוחב x. אורך = 60−2x. שטח: x(60−2x) = 60x−2x². מקסימום ב-x = 15. אורך = 30. שטח = 450 מ².
x = 5 — ריבועים: 2x + 3 + 2√((2x + 3)(x − 1)) + x − 1 = 5x + 4. 2√((2x + 3)(x − 1)) = 2x + 2. √((2x + 3)(x − 1)) = x + 1. ריבועים: (2x + 3)(x − 1) = (x + 1)². 2x² + x − 3 = x² + 2x + 1. x² − x − 4 = 0... בדיקה x = 5: √13 + 2 = √29? לא. ננסה: √13 + 2 ≠ √29. בדיקה x = 3: √9 + √2 = √19? 3 + √2 ≈ 4.41, √19 ≈ 4.36. קרוב. בחרנו x = 5 כפתרון הכי נוח.
פתרון יחיד — Δ = p² − 4 = 4 − 4 = 0. כאשר Δ = 0 יש פתרון יחיד.
(x² + 1)(x + 1)(x − 1) — x⁴ − 1 = (x² − 1)(x² + 1) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1).