אלגברה — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 35 — 2³ = 8, 3³ = 27. 8 + 27 = 35.
2. x = 2.5 — x+2 = 3(x−1) = 3x−3. 2+3 = 3x−x. 5 = 2x. x = 2.5.
3. x³ + 1 — x·(x² − x + 1) + 1·(x² − x + 1) = x³ − x² + x + x² − x + 1 = x³ + 1.
4. x = 25 — ריבועים משני הצדדים: x = 25. בדיקה: √25 = 5. ✓
5. −4 < x < 2 — x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2). שורשים: −4 ו־2. הפרבולה שלילית בין השורשים: −4 < x < 2.
6. 2 שעות — מהירות נגד זרם = 12 − 3 = 9 קמ״ש. זמן = 18/9 = 2 שעות.
7. (x + 2)(x + 3) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו־3. x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3).
8. x = 3, y = 5 — מציבים y=2x−1 ב-3x+y=14: 3x+2x−1=14 → 5x=15 → x=3, y=5.
9. x − 3 — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). לאחר ביטול: x − 3.
10. x − 3 — (x² − 9)/(x + 3) = (x − 3)(x + 3)/(x + 3) = x − 3.
11. t = 3 שניות — h(t) = 0: −5t² + 10t + 15 = 0, t² − 2t − 3 = 0, (t − 3)(t + 1) = 0, t = 3 (t חיובי).
12. 3(x + 2) — 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2). לאחר ביטול: 3(x + 2).
13. 25 — Δ = b² − 4ac = 9 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25.
14. x³ + 6x² + 12x + 8 — (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
15. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) — הנוסחה הריבועית: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a), כאשר Δ = b² − 4ac הוא הדיסקרימיננט.
16. x = 10 — √(x − 1) = 3 → x − 1 = 9 → x = 10. בדיקה: √9 + 2 = 5. ✓
17. 36 — (1 + 2 + 3)² = 6² = 36.
18. ללא פתרון — כפלו ראשונה ב-2: 6x+10y=30 ≠ 25 — ישרים מקבילים, ללא פתרון.
19. S∞ = a₁/(1 − q) — כאשר |q| < 1, הסכום האינסופי מתכנס לערך a₁/(1 − q).
20. x=5 או x=−2 — 2x−3=7 → x=5. 2x−3=−7 → 2x=−4 → x=−2.