מבחנים מיוחדים — כיתה ט׳ (קל)

פתרונות

1. x=3 — פירוק: (x−2)(x−3)=0, ולכן x=2 או x=3. הפתרון הגדול הוא x=3.
2. אלכסון 13 ס״מ, שטח 60 סמ״ר — אלכסון לפי פיתגורס: √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13. שטח = אורך × רוחב = 12 × 5 = 60.
3. יתר 10, היקף 24 — לפי משפט פיתגורס: יתר² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, ולכן יתר = 10. היקף = 6 + 8 + 10 = 24.
4. 4/5 — יתר = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. הזווית החדה הגדולה נמצאת מול הרגל הגדולה יותר (8). sin = נגדי/יתר = 8/10 = 4/5.
5. 24x — לפי נוסחת הפרש ריבועים: a² − b² = (a + b)(a − b). כאן a = 2x + 3, b = 2x − 3, ולכן a + b = 4x, a − b = 6. התוצאה: 4x × 6 = 24x.
6. 2 מ׳ — שלב 1 — פתיחת הסוגריים: x² + x = 6 → x² + x − 6 = 0. שלב 2 — פקטוריזציה: (x + 3)(x − 2) = 0. שלב 3 — פתרונות: x = −3 (לא רלוונטי, אורך שלילי) או x = 2. הרוחב הוא 2 מ׳ והאורך הוא 3 מ׳ (בדיקה: 2 × 3 = 6 ✓).
7. (x − 4)(x − 5) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 20 וסכומם 9. 4 + 5 = 9 ו־4 · 5 = 20. לכן: (x − 4)(x − 5).
8. 0.96 — אחרי העלאה: 1.20. אחרי הורדה: 1.20 × 0.80 = 0.96. כלומר המחיר ירד ב־4%.
9. x = 3 ו-x = 4 — x² − 7x + 12 = 0; a=1, b=−7, c=12. שלב 1 — דיסקרימיננטה: Δ = (−7)² − 4×1×12 = 49 − 48 = 1. שלב 2 — שורשים: x = (7 ± √1)/2 = (7 ± 1)/2. שלב 3 — x₁ = 8/2 = 4; x₂ = 6/2 = 3. בדיקה: (3−3)(3−4) = 0 ✓; (4−3)(4−4) = 0 ✓
10. ממוצע 84, סטיית תקן ≈ 10.2 — שלב 1: ממוצע = (70+80+80+90+100)/5 = 420/5 = 84. שלב 2: סטיות מהממוצע: −14, −4, −4, 6, 16. שלב 3: שונות = (196+16+16+36+256)/5 = 520/5 = 104. שלב 4: סטיית תקן = √104 ≈ 10.2.
11. x²−25 — (a−b)(a+b)=a²−b² ⟹ x²−25.
12. 16 מ׳ — פונקציה ריבועית עם a = −1 < 0, לכן יש מקסימום בקודקוד. שלב 1 — זמן הגובה המרבי: t = −b/(2a) = −6/(2×(−1)) = 6/2 = 3 שניות. שלב 2 — גובה מרבי: h(3) = −(3²) + 6×3 + 7 = −9 + 18 + 7 = 16 מ׳.
13. 50% — מכפיל כולל: 1.20 × 1.25 = 1.50 → עלייה כוללת של 50%.
14. 3/5 — סה״כ 10 כדורים, מתוכם 6 כחולים. ההסתברות = 6/10 = 3/5.
15. רוחב 4 מ׳, אורך 7 מ׳ — שלב 1: x(x+3)=28 → x²+3x−28=0. שלב 2: פירוק לגורמים: (x+7)(x−4)=0. שלב 3: x=4 (x=−7 נדחה כי אורך שלילי). שלב 4: רוחב=4 מ׳, אורך=7 מ׳. בדיקה: 4×7=28 ✓.
16. (5,5) — סיכום וקטורים רכיב-רכיב: (2+3,1+4)=(5,5).
17. 3,375 ₪ — ריבית דריבית: A = קרן × (1 + r)ⁿ. שלב 1: 1.04² = 1.0816. שלב 2: 1.04³ = 1.0816 × 1.04 = 1.124864. שלב 3: A = 3,000 × 1.124864 ≈ 3,374.6 ₪ ≈ 3,375 ₪.
18. 10 — במשולש 30-60-90: היתר = 2 × הצלע שמול 30°. לכן יתר = 2 × 5 = 10.
19. ממוצע 80, חציון 80 — ממוצע = (70+75+80+85+90)/5 = 400/5 = 80. החציון הוא הערך האמצעי (3 מתוך 5): 80.
20. 1/25 — הסתברות גיאומטרית = שטח האזור הרצוי / שטח כולל. שלב 1 — שטח מעגל פנימי: π × 2² = 4π. שלב 2 — שטח כל המטרה: π × 10² = 100π. שלב 3 — הסתברות: 4π / 100π = 4/100 = 1/25.